Mathematik: Wie die Primzahlzwillings-Vermutung bewiesen werden könnte
Release withdrawn by matroid on Sa. 11. Dezember 2021 23:02:28 [Statistics]
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Mathematik

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Zusammenfassung

Im ersten Abschnitt beschäftigen wir uns mit Teilerfremden in speziellen Intervallen. Im zweiten Abschnitt tun wir Gleiches mit Teilerfremd-Zwillingen und gelangen zu einer bemerkenswerten Vermutung. Im Anhang definieren wir Algorithmen zu Teilerfremden wie Teilerfremd-Zwillingen und betrachten Statistiken zu Lücken, die beim Studium von Teilerfremden und Teilerfremd-Zwillingen durchaus von Bedeutung sein können.

1. Bemerkungen zu Teilerfremden

Definitionen a und b seien natürliche Zahlen. a heißt teilerfremd zu b, falls a und b keinen gemeinsamen Teiler haben, d.h. es gilt \(ggT(a,b) = 1\). Die Primfakultät \(\pi_n=\prod^n_{i=1}p_i\) ist das Produkt aller Primzahlen bis \(p_n\). Satz 1.1 Teilerfremde zu \(\pi_n\) im Intervall \([1; \pi_n]\) implizieren Primzahlen größer \(p_n\). Beweis: t sei Teilerfremder zu \(\pi_n\) im Intervall \([1; \pi_n]\). Wegen \(ggT(t,\pi_n) = 1\) gilt, dass t keinen Faktor von \(\pi_n\) haben kann. t muss deshalb entweder selbst eine Primzahl größer \(p_n\) sein oder aus Primfaktoren größer \(p_n\) zusammengesetzt sein. Satz 1.1 gehört in die unermessliche Sammlung von Beweisen zur Unendlichkeit der Primzahlen. Als Vorbereitung auf unseren zweiten Abschnitt versuchen wir mehr über die Spezies Teilerfremde zu erfahren. Satz 1.2 Im Intervall \([1; \pi_n]\) gibt es zu \(\pi_n\) genau \(\tau_n=\prod^n_{i=1}(p_i-1)\) Teilerfremde. Beweis: dies folgt unmittelbar aus Algorithmus 4.1 (siehe Anhang). Ebenso ist es eine Konsequenz aus der Eulerschen \(\varphi\)-Funktion (siehe Ribenboim S.28). Teilerfremde in \([1; p^2_n]\) nehmen eine Sonderstellung ein. Satz 1.3 Alle Teilerfremden zu \(\pi_n\) in \([1; p^2_n]\) sind Primzahlen (, falls sie denn existieren). Beweis: wäre ein Teilerfremder zusammengesetzt, so müsste zumindest einer seiner Primfaktoren kleiner \(p_n\) sein, was aber nicht sein kann. Betrachten wir im Intervall \([1; \pi_n]\) einmal einzig alle Teilerfremden zu \(\pi_n\). Zwischen benachbarten Teilerfremden haben wir unterschiedlich große Abstände. Diese Lücken reichen von 2, 4, 6, … bis hin zu einem von \(\pi_n\) abhängigen maximalen Wert. In der Summe müssen wir ebenso viele Lücken wie Teilerfremde haben -- die Lücke zum nächsten Intervall schließen wir mit ein – also haben wir \(\tau_n\) Lücken. Diese Lücken vermitteln uns einen ersten Eindruck von der Verteilung der Teilerfremden. Da die Summe aller Lücken identisch mit der Intervalllänge ist, erhalten wir problemlos den Mittelwert der Lücken. Satz 1.4 Die durchschnittliche Länge aller Lücken der Teilerfremden zu \(\pi_n\) in \([1; \pi_n]\) ist gegeben durch \(\frac{\pi_n}{\tau_n}=\frac{\prod^n_{i=1}p_i}{\prod^n_{i=1}(p_i-1)}\) und es gilt für n>1 die Abschätzung \(\frac{\pi_n}{\tau_n} < p_n\). Beweis: wir folgern \(\frac{\pi_n}{\tau_n}=\prod^n_{i=1}\frac{p_i}{p_i-1}=(\prod^{n-1}_{i=1}\frac{p_i}{p_{i+1}-1})p_n\) und wegen \(p_{i+1}-p_i ≥2 \) sind für i>1 sämtliche Faktoren \(\frac{p_i}{p_{i+1}-1}<1\) (für i=1 haben wir \(\frac{p_1}{p_2-1}=1\)) womit wir \(\frac{\pi_n}{\tau_n} < p_n\) erhalten. Mit Satz 1.4 haben wir zwar kein sonderlich überraschendes und schon gar nicht überwältigendes Resultat erzielt. Mit Blick auf Satz 1.3 ist dies aber ein durchaus zufriedenstellendes Ergebnis. Als Einstimmung möge dies ausreichen. Wir wenden uns jetzt unserem eigentlichen Vorhaben zu.

2. Bemerkungen zu Teilerfremd-Zwillingen

Definitionen Zwei Primzahlen p und q heißen Primzahlzwillinge, wenn ihr Abstand 2 beträgt. a und b seien natürliche Zahlen. a heißt zwillingsteilerfremd zu b, falls sowohl a teilerfremd zu b als auch (a-2) teilerfremd zu b ist. Unter Abstand zwischen Zwillingen verstehen wir den Abstand zwischen den jeweils größeren (oder kleineren) der beiden Zwillingspartner. Ein Analogon zu Satz 1.1 gibt es nun leider nicht. Bei den Sätzen 1.2, 1.3 und 1.4 haben wir mehr Erfolg. Satz 2.1 Im Intervall \([1; \pi_n]\) gibt es zu \(\pi_n\) genau \(\zeta_n=\prod^n_{i=2}(p_i-2)\) Teilerfremd-Zwillinge. Beweis: dies folgt unmittelbar aus Algorithmus 4.2 des Anhangs. Wie zu erwarten nehmen auch Teilerfremd-Zwillinge in \([1;p^2_n]\) eine Sonderstellung ein. Satz 2.2 Alle Teilerfremd-Zwillinge zu \(\pi_n\) in \([1;p^2_n]\) sind Primzahlzwillinge (, falls sie denn existieren). Beweis: wäre a bzw. (a-2) eines Teilerfremd-Zwillings zusammengesetzt, so müsste zumindest ein Primfaktor kleiner \(p_n\) sein, was aber nicht sein kann. Betrachten wir im Intervall \([1; \pi_n]\) einmal einzig alle Teilerfremd-Zwillinge zu \(\pi_n\). Zwischen benachbarten Teilerfremd-Zwillingen haben wir Abstände von unterschiedlicher Größe. Diese Lücken reichen von 6, 12, 18, … bis hin zu einem durch \(\pi_n\) abhängigen maximalen Wert. In der Summe müssen wir ebenso viele Lücken wie Teilerfremd-Zwillinge haben -- die Lücke zum nächsten Intervall schließen wir mit ein – also haben wir \(\zeta_n\) Lücken. Diese Lücken vermitteln uns wie schon bei Teilerfremden einen ersten Eindruck von der Verteilung der Teilerfremd-Zwillinge. Da die Summe aller Lücken identisch mit der Intervalllänge ist, erhalten wir wiederum problemlos den Mittelwert der Lücken. Satz 2.3 Die durchschnittliche Länge aller Lücken der Teilerfremd-Zwillinge zu \(\pi_n\) in \([1; \pi_n]\) ist gegeben durch \(\frac{\pi_n}{\zeta_n}=\frac{\prod^n_{i=1}p_i}{\prod^n_{i=2}(p_i-2)}\) und es gilt für n>3 die Abschätzung \(\frac{\pi_n}{\zeta_n} < 2p_n\). Beweis: wir folgern \(\frac{\pi_n}{\zeta_n}=2\prod^n_{i=2}\frac{p_i}{p_i-2}=2(\prod^{n-1}_{i=2}\frac{p_i}{p_{i+1}-2})p_n\) und wegen \(p_{i+1}-p_i ≥2 \) sind für i>3 sämtliche Faktoren \(\frac{p_i}{p_{i+1}-2}\le 1\) (für i=2 und i=3 haben wir \(\frac{p_i}{p_{i+1}-2}=1\) und für i=4 gilt \(\frac{p_i}{p_{i+1}-2}<1\)) womit wir \(\frac{\pi_n}{\zeta_n} < 2p_n\) erhalten. Mit Satz 2.3 haben wir auch diesmal kein überwältigendes Resultat erzielt, mit Blick auf Satz 2.2 ist dies aber durchaus ermutigend. Denn im Mittel liegen die Teilerfremd-Zwillinge gar nicht so weit auseinander wie man befürchten und die fakultativ sich ausdehnenden Intervalle suggerieren könnten. Sie liegen im Mittel deutlich unterhalb \(2p_n\). Wegen \(2p_n=\frac2{p_n-1}(p^2_n-p_n)\) bedeutet dies aber auch, dass durchaus Teilerfremd-Zwillinge im Bereich \([p_n;p^2_n]\) liegen werden. Garantiert ist das natürlich keineswegs. Die Lückenlängen streuen um einen Mittelwert, aber wie weit? Mit einer Auszählung der Häufigkeiten aller Lückenlängen (siehe Anhang) haben wir uns auf den Weg gemacht. Uns interessieren die größten pro Intervall entstandenen Lücken. Mit verschiedenen Programmen haben wir auszählen lassen. Die Rechenzeiten haben uns allerdings schnell ausgebremst: DERIVE z.B. benötigt 108 Minuten für \(\pi_9\)=223.092.870, PYTHON schafft \(\pi_{10}\)= 6.469.693.230 in immerhin nur 35 Minuten. \(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} p_n & 3 & 5 & 7 & 11 & 13 & 17 & 19 & 23 & 29\\ \hline Mittelwert & 6 & 10 & 14 & 17,1 & 20,2 & 22,9 & 25,6 & 28,0 & 30,1\\ größte Lücke & 6 & 12 & 30 & 42 & 66 & 108 & 150 & 204 & 258\\ p^2_n-p_n & 6 & 20 & 42 & 110 & 156 & 272 & 342 & 506 & 812\\ \end{array}\) Die aus dieser Tabelle resultierende grafische Darstellung lassen wir auf uns wirken.
Vermutung Die maximalen Lücken der Teilerfremd-Zwillinge zu \(\pi_n\) im Intervall \([1; \pi_n]\) sind stets kleiner als \(p^2_n-p_n\). Unterstellen wir die Gültigkeit dieser plausiblen Vermutung, so wären wir am Ziel, denn jetzt greift nachfolgender Satz. Satz 2.4 Im Intervall \([p_n; p^2_n]\) gibt es mindestens einen Teilerfremd-Zwilling zu \(\pi_n\). Und dies wäre dann nach Satz 2.2 ein Primzahlzwilling. Ungeachtet dieser Folgerung zeigen numerische Experimente (bis \(p_n\)=1.000.003 durchgeführt), dass es sogar stets mindestens einen Primzahlzwilling im Intervall \([p^2_{n-1}; p^2_n]\) gibt. Uns erstaunt und verblüfft zugleich, dass einzig der Nachweis unserer Vermutung ausreicht um die Primzahlzwilling-Vermutung zu beweisen. Und es gibt berechtigte Hoffnung, dass ein elementarer Beweis unserer Vermutung möglich ist, da Teilerfremde wie Teilerfremd-Zwillinge gegenüber den sperrigen Primzahlen abzählbar und einfach strukturiert sind. Statistische Ergebnisse, die wir im Anhang aufführen, stützen diese Hoffnung.

3. Verwendete Quellen

Ribenboim, Paulo (2011, 2.Aufl.) : Die Welt der Primzahlen. Springer-Verlag Berlin Havil, Jilian (2007): Gamma. Springer-Verlag Berlin

4. Anhang

Hier zum PDF-File des Anhangs
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"Mathematik: Wie die Primzahlzwillings-Vermutung bewiesen werden könnte" | 3 Comments
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Re: Wie die Primzahlzwillings-Vermutung bewiesen werden könnte
von: Triceratops am: So. 12. Dezember 2021 10:11:12
\(\begingroup\)Schade, dass hier ...Artikel von Fermatisten veröffentlicht werden, die nicht mit Beweisen, sondern mit "plausiblen Vermutungen", "numerischen Experimenten" und "berechtigter Hoffnung" (Zitate aus dem Artikel) arbeiten.\(\endgroup\)
 

Re: Wie die Primzahlzwillings-Vermutung bewiesen werden könnte
von: Slash am: So. 12. Dezember 2021 15:03:53
\(\begingroup\)Dass es sich bei dem Autor um einen Diplom-Mathematiker handeln soll (siehe Profil), macht die Sache umso fragwürdiger. Dass der Autor ferner die beiden angegeben Quellen gelesen und verstanden hat, bezweifele ich zudem. Ich kenne die Bücher und wundere mich, dass sie Nährboden für solche Überlegungen sind. Das ist mal wieder so ein Fall, in dem Matroid besser dazu hätte raten sollen, die Gedanken in einem Thread zu posten und zu diskutieren. Sorry, wenn das hart und unfair rüberkommt. Zugegeben, ich habe gerade schlechte Laune, was meine Schreibe mit Sicherheit indirekt beeinflusst hat. 🙄 Gruß, Slash\(\endgroup\)
 

Re: Wie die Primzahlzwillings-Vermutung bewiesen werden könnte
von: matroid am: So. 12. Dezember 2021 19:12:06
\(\begingroup\)Hallo Klaus-Michael, da es wesentliche Kritik an deinem Beitrag gibt, werde ich die Veröffentlichung zurücknehmen. Du kannst gern daran arbeiten, die Einwände zu klären. Gruß Matroid\(\endgroup\)
 

 
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