Mathematik: Die Lokalisierung eines geringten Raumes
Released by matroid on Fr. 24. Juni 2022 17:40:56
Written by Triceratops - (148 x read)
Mathematik 

Die Lokalisierung eines geringten Raumes

Jedem kommutativen Ring $R$ kann man einen lokalgeringten Raum $\mathrm{Spec}(R)$ zuordnen, das Spektrum von $R$. Die Punkte dieses Raumes sind die Primideale $\mathfrak{p} \subseteq R$, die Strukturgarbe erfüllt $ \mathcal{O}_{\mathrm{Spec}(R),\mathfrak{p}} = R_{\mathfrak{p}}$. In diesem Artikel werden wir diese Konstruktion auf geringte Räume verallgemeinern. Es handelt sich um eine "topologische Ausdehnung" des Spektrum eines kommutativen Ringes. Eine Variante dieser Konstruktion ermöglicht es, das relative Spektrum einer Garbe von Algebren sowie Faserprodukte von lokalgeringten Räumen zu konstruieren. Die topologischen Räume und Strukturgarben kann man hierbei konkret hinschreiben. Diese Konstruktionen sind also allgemeiner und trotzdem konkreter als die in der algebraischen Geometrie üblichen Verklebekonstruktionen im Spezialfall von Schemata.
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Mathematik: Rubbellose
Released by matroid on So. 05. Juni 2022 17:04:01
Written by Delastelle - (248 x read)
Spiele+Rätsel Eine Form des Glücksspiels sind Rubbellose. Ich habe selbst mal erlebt wie jemand in Frankreich bei einer Lotterie "Banco" - einem Rubbellos - einen Gewinn von 500 Francs (damals Jahr 1992 ca.140 DM oder umgerechnet ca.70 Euro) erspielt hat. Mich hat interessiert, wie bei aktuellen Lotterien das Gewinnverhältnis für ein Los bei Einsatz eines Euro ist. Ich habe 8 Rubbellose für 1 bis 10 Euro pro Stück verglichen.
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Mathematik: Ist das Mathe-Abi wirklich so "schwer"?
Released by matroid on Fr. 27. Mai 2022 18:46:26
Written by easymathematics - (1063 x read)
Mathematik 

Das Mathe-Abi

Jedes Jahr das Gleiche in vielerlei Hinsicht

Vor einigen Wochen stand das Mathe-Abi vor der Tür. Für die Meisten eine reine Qual, vielleicht auch für Dich. Ich möchte dieses Thema auch auf dem Mathe-Planeten ansprechen. Um was geht es? Jedes Jahr ist auch in den Medien zu hören, dass Mathe-Abi sei dieses Jahr schwer gewesen. Dabei gibt es auch noch Abstufungen, die an dieser Stelle nicht wichtig sind. Ich versuche "schwer" zu definieren und wünsche mir, dass gerade Schüler einsehen, dass ich im Kern richtig liege. Ebenfalls möchte ich versuchen zu erklären, woran das liegt und was Du dagegen unternehmen kannst. Es mag hart klingen, aber das Kernproblem ist eine schlechte bis falsche Vorbereitung und wenig bis gar kein Grundverständnis für mathematische Konzepte, Methoden und Ideen. Ziel: konstruktive Diskussion, andere Meinungen einholen und vor allem Euch, liebe Schüler, aufzeigen, dass man das "schwer" mit einfachen Mitteln zu einem "war ja voll einfach" umformen kann. :) Um die ganze Geschichte verständlich aufzurollen, müssen wir allerdings zunächst über grundlegende Dinge sprechen. 1. "Das war voll schwer!" - Aber was genau? Und warum? 2. Mathematik - Wird da nicht gerechnet? 3. Das Problem der Schüler 4. Wie werde ich besser? Ein zweiter Teil ist ebenfalls geplant.
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Mathematik: Eifallzahlen
Released by matroid on So. 17. April 2022 20:18:43
Written by Nuramon - (305 x read)
Mathematik 

Eifallzahlen

Erst vor wenigen Tagen hat der Postillon über die bizarren Brauchtümer des "offenbar schwer gestörten Ehepaars" Sabrina und Dennis M. aus Kaiserslautern berichtet. Und jetzt sind die beiden Eifallspinsel schon wieder mit einem neuen Ritual aufgefallen: Sie suchen sich ein Hochhaus vor dem Dennis wartet, während Sabrina sich mit einem Korb voll Eier Zugang zum Balkon eines von ihr gewählten Stockwerkes verschafft. Von dort lässt sie dann eines der Eier auf die Straße fallen. Falls das Ei dabei nicht zerbricht, wirft Dennis es zu ihr zurück. Das wiederholen die beiden einige Male von verschiedenen Stockwerken aus, bis Sabrina ein besonders schön gefärbtes goldenes Ei aus großer Höhe fallen lässt, ohne das dieses zerbricht. Die beiden haben sich zu einem Interview mit der Mathe-Redaktion bereit erklärt, in dem sie die Details des Eifall-Rituals vorstellen und die ausgeklügelte Strategie offenbaren, mit der sie es schaffen, jedes Mal das goldene Ei zu werfen, bevor die Polizei sie stoppen kann.
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Mathematik: Tanzende Kreise
Released by matroid on Fr. 08. April 2022 21:55:10
Written by Triceratops - (369 x read)
Spiele+Rätsel 

Tanzende Kreise

Wie komplexe Systeme aus einer einfachen Regel entstehen können

In diesem Artikel schauen wir uns eine Simulation von Kreisen an, die folgende Regel befolgen: wenn sich zwei Kreise nahe genug sind, "tanzen" sie miteinander. Genauer gesagt sollen sie um den Mittelpunkt ihrer Mittelpunkte rotieren. Obwohl diese Regel so einfach ist, können daraus komplexe Systeme entstehen. Wir werden uns auch besonders schöne Konstellationen anschauen. Wenn die Kreise unterschiedliche Orientierungen haben, können sogar "schwarze Löcher" entstehen.
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Mathematik: Teilbarkeit von Binomialkoeffizienten durch Primzahlen und Primzahlpotenzen
Released by matroid on Mi. 23. Februar 2022 18:00:03
Written by Nuramon - (447 x read)
Mathematik 

Teilbarkeit von Binomialkoeffizienten durch Primzahlen und Primzahlpotenzen

Die Aussage, dass für eine Primzahl $p$ der Binomialkoeffizient $\binom pk$ für $1\leq k \leq p-1$ durch $p$ teilbar ist, ist für die meisten auf dem Matheplaneten wohl nicht neu. Weniger bekannt dürfte sein, wie man für einen beliebigen Binomialkoeffizienten $\binom nk$ effizient herausfinden kann, mit welchem Rest er durch $p$ teilbar ist, oder wie man die größte Potenz von $p$ findet, die $\binom nk$ teilt. Die Antworten auf diese Fragen liefern die Sätze von Lucas und Kummer, die wir in diesem Artikel herleiten werden. Indem wir auch die Binomialkoeffizenten $\binom {-n}k$ betrachten, werden sich zudem noch weitere Zusammenhänge offenbaren.
  • Definition und erste Teilbarkeitseigenschaften
  • Der Satz von Lucas
  • Eine Symmetrie im Pascalschen Dreieck
  • Die Formel von Legendre
  • Der Satz von Kummer
  • Abschließende Worte
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Mathematik: Die trigonometrische Form der Fibonacci-Zahlen
Released by matroid on Fr. 04. Februar 2022 20:49:17
Written by easymathematics - (426 x read)
Mathematik 

Die trigonometrische Form der Fibonacci-Zahlen

In diesem kleinen, kurzen Artikel möchte ich eine besondere Form der Fibonacci-Zahlen vorstellen. \[ F_n = \frac{(-i)^{n+1} 2 \sqrt{5}}{5} \sin\bigl(in \ln(i \phi)\bigr), \] wobei \[ \phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \] (goldener Schnitt), \[ i^2 = -1 \] (imaginäre Einheit). Voraussetzungen: – Grundkenntnisse Fibonacci-Zahlen (Binet's Form) – Komplexe Zahlen – Beziehungen zwischen trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen mittels komplexer Zahlen Wir werden diese hier kurz anschneiden. Entscheidend ist: Wie kommt man auf die Idee, nach so einer Form zu suchen? Die Antwort finden wir in der geschlossenen Form der Fibonacci-Zahlen.
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Mathematik: Lösen von Job Shop Problemen Teil 2 - mit dem Programmpaket "LiSA"
Released by matroid on Fr. 28. Januar 2022 06:42:50
Written by Delastelle - (120 x read)
Software Beim Lösen von Job Shop Problemen stellen sich manche Instanzen (Beispieldaten) als besonders schwierig heraus. Mit dem Programmpaket "LiSA" kann ich das klassische 10x10 MT10 Problem (gestellt von Muth und Thompson 1963) und auch das 15x15 LA40 Problem (gestellt von Lawrence 1984) lösen. Benutzt wurde dabei Branch&Bound.
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