Mathematik: Collatzsieb
Released by matroid on Fr. 24. Juli 2020 20:45:42
Written by blindmessenger - (558 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)

Collatzsieb



Einleitung



Es seien $X$ und $Y$ die Mengen

$$X=\{24n+1:n\in\mathbb N\}\cup\{24n+17:n\in\mathbb N\}\cup\{48n+13:n\in\mathbb N\}\cup\{48n+29:n\in\mathbb N\}\cup\{96n+37:n\in\mathbb N\}\cup\{192n+181:n\in\mathbb N\}$$
$$Y=\{6n+1:n\in\mathbb N\}\cup\{6n+5:n\in\mathbb N\}$$
Aus der Menge $X$ entsteht durch Collatziteration die Menge $Y$. Aus der Menge $Y$ wiederum lässt sich die Menge $X$ heraussieben. So lässt sich ein Sieb für Collatzfolgen konstruieren.

Im Folgenden wird gezeigt wie man dieses Sieb herleiten kann... \(\endgroup\)
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Mathematik: Ausdehnen von algebraischen Gleichungen
Released by matroid on So. 12. Juli 2020 21:52:37
Written by Triceratops - (329 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)

Ausdehnen von algebraischen Gleichungen

Der Satz von Cayley-Hamilton aus der linearen Algebra ist ein schönes Beispiel dafür, dass man einen Satz über komplexe Matrizen mit einem formalen Argument auf Matrizen über kommutativen Ringen verallgemeinern kann. In diesem Artikel soll das allgemeine Prinzip dahinter erklärt werden. Als Beispiele dafür besprechen wir die Multiplikativität von Determinanten, den Entwicklungssatz von Laplace, die Brahmagupta–Fibonacci-Identität und die Vier-Quadrate-Formel von Euler, die Vandermonde-Identität, die Formel für das charakteristische Polynom eines Matrixproduktes und eben den Satz von Cayley-Hamilton.
\(\endgroup\)
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Stern Werkzeuge: Grafiken in Latex
Released by matroid on Mi. 23. Dezember 2009 20:48:43
Written by Ueli - (45674 x read)
Software  \(\begingroup\)
Bild

Grafiken und Funktionenplots in LaTeX

Dieser Artikel richtet sich an LaTeX Nutzer, welche ein Dokument mit Grafiken erstellen wollen. Bei den Grafiken werde ich vor allem auf Funktions- und Datenplots eingehen, welche in technischen oder mathematischen Dokumentationen oft einen grossen Anteil ausmachen.

Es gibt viele Möglichkeiten ein Bild oder Plot für oder mit LaTeX zu erzeugen. Hier beschränke ich mich auf gnuplot und die LaTeX-Bibliothek TikZ/pgf. Damit können professionelle Resultate erzielt werden, wenn man bereit ist mit etwas Handarbeit nachzuhelfen.

Bild

Inhalt


  • Einleitung
  • Grundlagen zu TikZ
  • TikZ in der Ebene
  • TikZ im Raum
  • Gnuplot, Grafiken erstellen
  • Gnuplot, die Ausgabeformate
  • Und weiter?
  • Links und Bücher
  • Installation von gnuplot \(\endgroup\)
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    Mathematik: Die Taylorentwicklung mit linearer Algebra verstehen
    Released by matroid on Mi. 01. Juli 2020 18:12:01
    Written by Vercassivelaunos - (281 x read)
    Analysis  \(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\H}{\mathbb{H}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\grad}{\operatorname{grad}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\)
    Die Grundidee der Ableitung einer Funktion $f$ ist, dass die Ableitung eine lineare Näherung von $f$ darstellen soll. In der Analysis 1 tut sie dies für gewöhnlich in Form der Tangentensteigung. Die Ableitung ist die Steigung einer (affin) linearen Funktion, deren Graph sich an den von $f$ anschmiegt. In der Analysis 2 wird das Konzept der linearen Näherung auf mehrere Dimensionen ausgeweitet und gleichzeitig verstärkt: Die totale Ableitung $\D f$ einer Funktion ist jetzt im wahrsten Sinne des Wortes eine lineare Abbildung, die in einem gewissen Sinne $f$ gut nähert. Ihre Darstellungsmatrix ist die bekannte Jacobimatrix. Wir werden im Folgenden sehen, dass die Taylorentwicklung eine Verallgemeinerung dieses Konzepts der linearen Näherung darstellt. Wir werden dabei feststellen, dass auch höhere Ableitungen in mehrdimensionalen Räumen in der Sprache der linearen Algebra beschrieben werden können, wenn man höhere Ableitungen von Funktionen mehrerer Variablen als Multilinearformen interpretiert. Wir wollen ein tieferes Verständnis für die Taylorentwicklung auch in mehreren Dimensionen entwickeln und werden bemerken, dass die mehrdimensionale und die eindimensionale Taylorentwicklung gar nicht so verschieden sind. Wir werden dabei in der theoretischen Beschreibung vollständig auf Multiindizes, Multinomialkoeffizienten und partielle Ableitungen verzichten. Nebenbei können wir die Definition höherer Ableitungen auch noch erweitern.
    Am Schluss werden einige beispielhafte Taylorentwicklungen in 2d berechnet und graphisch dargestellt. \(\endgroup\)
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    Mathematik: Lineare Algebra mit dem Austauschverfahren
    Released by matroid on Do. 04. Juni 2020 17:16:25
    Written by lewis - (472 x read)
    Lineare Algebra  \(\begingroup\)
    Das Austauschverfahren ist ein allgemeines — inzwischen leider vernachlässigtes — Werkzeug der Linearen Algebra. Mit entsprechenden Anpassungen kann man damit
    • einen Basiswechsel durchführen,
    • den Rang einer Matrix ablesen,
    • Matrizen invertieren,
    • lineare Gleichungssysteme und Matrizengleichungen lösen,
    • Determinanten berechnen,
    • und Eigenvektoren finden.
    \(\endgroup\)
    mehr... | 13921 Bytes mehr | 4 Kommentare | Druckbare Version  | Mathematik


    Physik: Domino Day
    Released by matroid on So. 31. Mai 2020 21:15:15
    Written by MontyPythagoras - (502 x read)
    Physik  \(\begingroup\)

    Domino Day


    Domino AnimationIn meiner nicht enden wollenden Artikelreihe "Physikalisches Wissen, das keiner braucht" möchte ich mich dieses Mal mit dem erstaunlich komplexen physikalischen Phänomen des Dominoeffektes befassen, und zwar soll berechnet werden, mit welcher Geschwindigkeit sich das Umfallen der Dominosteine fortpflanzt. Vor langer Zeit gab es hier auf dem Matheplaneten schon einmal einen Thread zu dem Thema, der aber über ein paar anfängliche Überlegungen nicht hinaus kam. Also bestmögliche Voraussetzungen, um beim nächsten Mal, wenn jemand vom Dominoeffekt anfängt, mit Klugscheißerwissen zu glänzen! \(\endgroup\)
    mehr... | 22031 Bytes mehr | 4 Kommentare | Druckbare Version  | Physik


    buhs Montagsreport: Die Hydra von Strigidia
    Released by matroid on Mo. 27. April 2020 00:00:39
    Written by Leonardo_ver_Wuenschmi - (455 x read)
    Bildung  \(\begingroup\)
    Urlogo für buhs Montagsreport
    Die Hydra von Strigidia

    Ein reverses Märchen*


    Ruhe***. Bei meinen Forschungen in der Bibliothek zu Fibona fand ich in einer Sammlung alter Geschichten auch die folgende Sage:

    Im Hafen von Strigidia steht die Statue einer Hydra.
    Blassblau thront sie auf einer Säule mitten im Hafenbecken.
    Im Hafen tummeln sich die roten Boote der Fischer, die blauen Clipper derer, die nach R-Folgen jagen, und die gelben Pontons derer,
    \(\endgroup\)
    mehr... | 4455 Bytes mehr | 8 Kommentare | Druckbare Version  | buhs Montagsreport


    Mathematik: Calculating sequence element a(16) of OEIS A108235
    Released by matroid on Sa. 18. April 2020 18:31:10
    Written by StrgAltEntf - (873 x read)
    Mathematik  \(\begingroup\)
    Abstract

    The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS) lists under the identifier A108235 the following sequence:

    $a(n)=$ Number of partitions of $\{1,2,...,3n\}$ into $n$ triples $(X,Y,Z)$ each satisfying $X+Y=Z$.

    The following values can be found there (status on Apr 18 2020)
    n       a(n)
    1          1
    2          0
    3          0
    4          8
    5         21
    6          0
    7          0
    8       3040
    9      20505
    10         0
    11         0
    12  10567748
    13 103372655
    14         0
    15         0

    For example, $a(4)=8$, and there are the following eight partitions of set $\{1,2,...,12\}$.
    No. 1 (1 5 6) (2 8 10) (3 9 12) (4 7 11)
    No. 2 (1 5 6) (2 9 11) (3 7 10) (4 8 12)
    No. 3 (1 6 7) (2 10 12) (3 8 11) (4 5 9)
    No. 4 (1 8 9) (2 10 12) (3 4 7) (5 6 11)
    No. 5 (1 9 10) (2 4 6) (3 8 11) (5 7 12)
    No. 6 (1 10 11) (2 5 7) (3 6 9) (4 8 12)
    No. 7 (1 11 12) (2 6 8) (3 7 10) (4 5 9)
    No. 8 (1 11 12) (2 7 9) (3 5 8) (4 6 10)

    Now we are happy to announce that we can add two more members to this sequence. The following holds.
    \[a(16)=142664107305\]
    \[a(17)=1836652173363\]
    Furthermore, we were able to calculate the member \(a'(43)\) for the related sequence A002849.
    \[a'(43)=16852166906\]


    \(\endgroup\)
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    Mathematik: Lösen von Linearen Optimierungsproblemen mit Java
    Released by matroid on Di. 07. April 2020 21:44:30
    Written by Delastelle - (330 x read)
    Software  \(\begingroup\)
    Im Rahmen meiner Diplomarbeit habe ich im Jahr 2001 C/C++ Programme von Robert J.Vanderbei zur Linearen Optimierung in Java implementiert. Kern sind 2 LP-Löser - ein Simplexartiges Verfahren und ein Innere-Punkt-Verfahren.
    Damit kann man schnell kleine, mittlere und auch große Optimierungsprobleme lösen. \(\endgroup\)
    mehr... | 11286 Bytes mehr | Kommentare? | Druckbare Version  | Mathematik


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