Mathematik: Ein paar Worte zum Computerprogramm Zillions of Games
Released by matroid on Mo. 26. Oktober 2020 22:03:44
Written by Delastelle - (34 x read)
Software  \(\begingroup\)
Um das Jahr 1999 erschien das Computerspiel "Zillions of Games".
Mit ihm kann man eine Vielzahl von Brettspielen spielen.
Durch Regelfiles und Suchbaumtechniken kann man gegen den Computer spielen. \(\endgroup\)
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Mathematik: Einführung in q-Binomialkoeffizienten
Released by matroid on Di. 20. Oktober 2020 06:42:45
Written by Triceratops - (241 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)

Einführung in $q$-Binomialkoeffizienten

Ausgehend von der kombinatorischen Fragestellung, wieviele Unterräume ein endlich-dimensionaler Vektorraum über einem endlichen Körper $\IF_q$ hat, schauen wir uns $q$-Binomialkoeffizienten $\smash{\binom{n}{k}_q}$ genauer an. Man kann sie als eine Verfeinerung der gewöhnlichen Binomialkoeffizienten ansehen: es sind nämlich Polynome in $q$, deren Koeffizientensumme $\smash{\binom{n}{k}}$ ist. Neben der allgemeinen Definition und einigen Rechenregeln charakterisieren wir sie auch mit einem nicht-kommutativen Binomialsatz und beweisen verschiedene kombinatorische Interpretationen ihrer Koeffizienten.
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Stern Mathematik: Koordinatenfreier Entwicklungssatz von Laplace
Released by matroid on Do. 17. September 2020 19:18:39
Written by Triceratops - (556 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)

Koordinatenfreier Entwicklungssatz von Laplace

Der Entwicklungssatz von Laplace aus der linearen Algebra wird üblicherweise als eine Aussage über Matrizen formuliert und durch eine direkte Rechnung bewiesen. In diesem Artikel formulieren und beweisen wir eine koordinatenfreie Version dieses Satzes, die zwar nicht neu, aber relativ unbekannt ist. Sie handelt entsprechend von linearen Abbildungen. Das wesentliche technische Hilfsmittel sind äußere Potenzen.
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Stern Mathematik: Grundlegendes zur Normalverteilung
Released by matroid on Do. 23. April 2015 19:25:19
Written by Calculus - (6686 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)

Grundlegendes zur Normalverteilung


Die Normalverteilung gehört zu den wichtigsten Verteilungen in der Stochastik. Aufgrund ihrer Rolle im zentralen Grenzwertsatz tritt sie an vielen Stellen in der Statistik auf. Die eng mit der Normalverteilung verbundenen <math>\chi^2</math>- t- und F-Verteilungen sind Grundlage vieler wichtiger Tests in der Statistik.

Trotzdem wird die Normalverteilung in Vorlesungen oft nur sehr oberflächlich und unvollständig behandelt. Typischerweise wird die (mehrdimensionale) Normalverteilung nur über ihre Dichte definiert, wodurch einige wichtige Spezialfälle außenvor bleiben und viele Rechnungen unnötig verkompliziert werden.

Dieser Artikel zeigt einen alternativen Ansatz auf, bei dem Dichten eher als Nebenprodukt der Herangehensweise auftreten. Die Konsequenzen davon sind im eindimensionalen Fall noch überschaubar, werden jedoch im Zusammenhang mit der mehrdimensionalen Normalverteilung umso gravierender.

Im ersten Abschnitt werden (eindimensional) normalverteilte Zufallsvariablen untersucht, woraus im zweiten Abschnitt der Begriff der mehrdimensionalen Normalverteilung hergeleitet wird. Im dritten Abschnitt zeigen einige Beispiele die Nützlichkeit von Matrizen im Zusammenhang mit der (mehrdimensionalen) Normalverteilung.

Für das Verständnis dieses Artikels sind grundlegende Kenntnisse im Bereich der Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie nötig. \(\endgroup\)
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buhs Montagsreport: Schule digital
Released by matroid on So. 13. September 2020 22:12:05
Written by buh - (310 x read)
Bildung  \(\begingroup\)
Urlogo für buhs Montagsreport
Schule digital***

2000 - wie alles begann*


Berlin. Nachdem sich die Welt um mich herum unübersehbar verändert hatte und selbst die Kaufhauskassen eigene Bildschirmschoner zeigten, dämmerte mir langsam, dass ich, wollte ich nicht als C64-er über Bord gehen, meine Arbeit umfassend revolutionieren müsse. Ich bin Lehrer für Mathematik, von einem Stande also, den schon Pythagoras von Samos so ausübte wie wir heute. Im Mathematikunterricht der letzten 200 Jahre hat es nur zwei Veränderungen gegeben: Laisser-faire ist als Form der Disziplin allgemein anerkannt, und das Eintrichtern elementarer Weisheiten zu Zins- und Bruchrechnung wurde ersetzt durch \(\endgroup\)
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Mathematik: Der Satz von Ptolemäus über Inversion am Kreis
Released by matroid on So. 06. September 2020 12:44:15
Written by Kezer - (336 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)
Zu den fundamentalen Aussagen in der gesamten Mathematik gehört die Dreieckungleichung aus der Geometrie. Man möge sich also fragen: Gibt es eine "Vierecksungleichung"?

Antwort: Ja. Eigentlich ist es aber auch "nur" die Dreiecksungleichung. Das richtige Analogon der Dreiecksungleichung für Vierecke ist der

Satz von Ptolemäus. Sei $ABCD$ ein Viereck. Es gilt $$ |AB| \cdot |CD| + |BC| \cdot |AD| \geq |AC| \cdot |BD|,$$ und Gleichheit gilt genau dann, wenn $ABCD$ ein Sehnenviereck ist.

Diesen Satz kann man mit verschiedenen Methoden, von einer Winkeljagd, trigonometrischen Rechnungen bis zu Ansätzen mit komplexen Zahlen, beweisen. Einer meiner Lieblingsbeweise verwendet die sogenannte Inversion am Kreis. Wir werden in diesem Artikel die Technik der Kreisinversion behandeln, um den Satz von Ptolemäus zu beweisen. Gleichzeitig werden wir sehen, wieso der Satz von Ptolemäus eigentlich bloß die Dreiecksungleichung ist.

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Stern Mathematik: Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle
Released by matroid on Fr. 14. August 2020 15:34:03
Written by Triceratops - (1283 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)

Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle

Ist $0$ eine natürliche Zahl? Wieso ist $1$ keine Primzahl? Was ist $0^0$? Was ist eine Basis des trivialen Vektorraumes? Wieso ist der triviale Ring ein Ring mit Eins, aber kein Körper? Ist der leere Raum zusammenhängend? Sollten wir den leeren Graphen zulassen? Welche Dimension hat die leere Mannigfaltigkeit? Was ist der Grad des Nullpolynoms? Was ist die freie Gruppe auf der leeren Menge? Wieviele Orientierungen hat ein Punkt?

Solche und ähnliche Fragen über triviale Fälle werden in diesem Artikel beantwortet. Dabei streifen wir verschiedene Gebiete der Mathematik. Das wiederkehrende Motiv lautet hierbei, dass es sich um keine Konventionen handelt, sondern die Definitionen (wenn man sie denn richtig formuliert) die trivialen Fälle bereits mit abdecken. Sie brauchen also tatsächlich gar keine Sonderbehandlung, auch wenn das in manchen Quellen suggeriert wird, ja sogar zu uneinheitlichen Konventionen geführt hat.

Ein anderes wiederkehrendes Motiv ist, dass es tatsächlich sinnvoll ist, triviale Fälle mit einzuschließen (wenn sie nicht gerade zu einfach sind, um einfach zu sein), auch wenn sie zunächst nicht wirklich interessant erscheinen und manchmal der (falsche) Eindruck entsteht, dass sie nicht in die allgemeine Theorie passen. Tatsächlich würde der Ausschluss von trivialen Fällen die Mathematik unnötig kompliziert machen. Man stelle sich einen Würfel vor, der die Mathematik repräsentiert: wir würden doch nicht seine Ecken abschneiden, nur weil ihre Koordinaten langweilig sind. Zudem würde sich ein eckenloser Würfel nicht mehr aus kleineren eckenlosen Würfeln zusammensetzen.

Dieser Artikel ist sehr stark motiviert durch und angelehnt an die Diskussion MO/45951 auf mathoverflow. Außerdem habe ich noch einige Beispiele ergänzt, die mir über den Weg gelaufen sind. Wenn ihr weitere passende Beispiele habt, postet sie gerne in die Kommentare.
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Mathematik: Collatzsieb
Released by matroid on Fr. 24. Juli 2020 20:45:42
Written by blindmessenger - (752 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)

Collatzsieb



Einleitung



Es seien $X$ und $Y$ die Mengen

$$X=\{24n+1:n\in\mathbb N\}\cup\{24n+17:n\in\mathbb N\}\cup\{48n+13:n\in\mathbb N\}\cup\{48n+29:n\in\mathbb N\}\cup\{96n+37:n\in\mathbb N\}\cup\{192n+181:n\in\mathbb N\}$$
$$Y=\{6n+1:n\in\mathbb N\}\cup\{6n+5:n\in\mathbb N\}$$
Aus der Menge $X$ entsteht durch Collatziteration die Menge $Y$. Aus der Menge $Y$ wiederum lässt sich die Menge $X$ heraussieben. So lässt sich ein Sieb für Collatzfolgen konstruieren.

Im Folgenden wird gezeigt wie man dieses Sieb herleiten kann... \(\endgroup\)
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Mathematik: Ausdehnen von algebraischen Gleichungen
Released by matroid on So. 12. Juli 2020 21:52:37
Written by Triceratops - (472 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)

Ausdehnen von algebraischen Gleichungen

Der Satz von Cayley-Hamilton aus der linearen Algebra ist ein schönes Beispiel dafür, dass man einen Satz über komplexe Matrizen mit einem formalen Argument auf Matrizen über kommutativen Ringen verallgemeinern kann. In diesem Artikel soll das allgemeine Prinzip dahinter erklärt werden. Als Beispiele dafür besprechen wir die Multiplikativität von Determinanten, den Entwicklungssatz von Laplace, die Brahmagupta–Fibonacci-Identität und die Vier-Quadrate-Formel von Euler, die Vandermonde-Identität, die Formel für das charakteristische Polynom eines Matrixproduktes und eben den Satz von Cayley-Hamilton.
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