Mathematik: Die Lokalisierung eines geringten Raumes
Released by matroid on Fr. 24. Juni 2022 17:40:56
Written by Triceratops - (148 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)

Die Lokalisierung eines geringten Raumes

Jedem kommutativen Ring $R$ kann man einen lokalgeringten Raum $\mathrm{Spec}(R)$ zuordnen, das Spektrum von $R$. Die Punkte dieses Raumes sind die Primideale $\mathfrak{p} \subseteq R$, die Strukturgarbe erfüllt $ \mathcal{O}_{\mathrm{Spec}(R),\mathfrak{p}} = R_{\mathfrak{p}}$. In diesem Artikel werden wir diese Konstruktion auf geringte Räume verallgemeinern. Es handelt sich um eine "topologische Ausdehnung" des Spektrum eines kommutativen Ringes. Eine Variante dieser Konstruktion ermöglicht es, das relative Spektrum einer Garbe von Algebren sowie Faserprodukte von lokalgeringten Räumen zu konstruieren. Die topologischen Räume und Strukturgarben kann man hierbei konkret hinschreiben. Diese Konstruktionen sind also allgemeiner und trotzdem konkreter als die in der algebraischen Geometrie üblichen Verklebekonstruktionen im Spezialfall von Schemata.
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Mathematik: Rubbellose
Released by matroid on So. 05. Juni 2022 17:04:01
Written by Delastelle - (248 x read)
Spiele+Rätsel  \(\begingroup\) Eine Form des Glücksspiels sind Rubbellose. Ich habe selbst mal erlebt wie jemand in Frankreich bei einer Lotterie "Banco" - einem Rubbellos - einen Gewinn von 500 Francs (damals Jahr 1992 ca.140 DM oder umgerechnet ca.70 Euro) erspielt hat. Mich hat interessiert, wie bei aktuellen Lotterien das Gewinnverhältnis für ein Los bei Einsatz eines Euro ist. Ich habe 8 Rubbellose für 1 bis 10 Euro pro Stück verglichen. \(\endgroup\)
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Stern Mathematik: Was ist das Tensorprodukt?
Released by matroid on Do. 27. September 2012 21:52:47
Written by Martin_Infinite - (16748 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)

Was ist das Tensorpr\otimesdukt?

Dieser Artikel ist nicht so sehr eine detaillierte Einführung in das Tensorprodukt; dazu kann man ja die Lehrbücher oder Gockels Artikel heranziehen oder auch den sehr empfehlenswerten Artikel von Keith Conrad. Vielmehr möchte ich hier das Tensorprodukt von Moduln unter verschiedenen Aspekten motivieren und auch darauf eingehen, wie man damit arbeiten kann und was ich mir darunter vorstelle. Meiner Erfahrung nach fehlt vielen Studenten eine Vorstellung darüber, auch wenn sie die Definition bereits kennen, welche ich hier aber ebenfalls motivieren werde. \(\endgroup\)
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Mathematik: Ist das Mathe-Abi wirklich so "schwer"?
Released by matroid on Fr. 27. Mai 2022 18:46:26
Written by easymathematics - (1063 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)\(\newcommand{\ggT}{\mathbb{ggT}}\)

Das Mathe-Abi

Jedes Jahr das Gleiche in vielerlei Hinsicht

Vor einigen Wochen stand das Mathe-Abi vor der Tür. Für die Meisten eine reine Qual, vielleicht auch für Dich. Ich möchte dieses Thema auch auf dem Mathe-Planeten ansprechen. Um was geht es? Jedes Jahr ist auch in den Medien zu hören, dass Mathe-Abi sei dieses Jahr schwer gewesen. Dabei gibt es auch noch Abstufungen, die an dieser Stelle nicht wichtig sind. Ich versuche "schwer" zu definieren und wünsche mir, dass gerade Schüler einsehen, dass ich im Kern richtig liege. Ebenfalls möchte ich versuchen zu erklären, woran das liegt und was Du dagegen unternehmen kannst. Es mag hart klingen, aber das Kernproblem ist eine schlechte bis falsche Vorbereitung und wenig bis gar kein Grundverständnis für mathematische Konzepte, Methoden und Ideen. Ziel: konstruktive Diskussion, andere Meinungen einholen und vor allem Euch, liebe Schüler, aufzeigen, dass man das "schwer" mit einfachen Mitteln zu einem "war ja voll einfach" umformen kann. :) Um die ganze Geschichte verständlich aufzurollen, müssen wir allerdings zunächst über grundlegende Dinge sprechen. 1. "Das war voll schwer!" - Aber was genau? Und warum? 2. Mathematik - Wird da nicht gerechnet? 3. Das Problem der Schüler 4. Wie werde ich besser? Ein zweiter Teil ist ebenfalls geplant. \(\endgroup\)
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Mathematik: Eifallzahlen
Released by matroid on So. 17. April 2022 20:18:43
Written by Nuramon - (305 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\)

Eifallzahlen

Erst vor wenigen Tagen hat der Postillon über die bizarren Brauchtümer des "offenbar schwer gestörten Ehepaars" Sabrina und Dennis M. aus Kaiserslautern berichtet. Und jetzt sind die beiden Eifallspinsel schon wieder mit einem neuen Ritual aufgefallen: Sie suchen sich ein Hochhaus vor dem Dennis wartet, während Sabrina sich mit einem Korb voll Eier Zugang zum Balkon eines von ihr gewählten Stockwerkes verschafft. Von dort lässt sie dann eines der Eier auf die Straße fallen. Falls das Ei dabei nicht zerbricht, wirft Dennis es zu ihr zurück. Das wiederholen die beiden einige Male von verschiedenen Stockwerken aus, bis Sabrina ein besonders schön gefärbtes goldenes Ei aus großer Höhe fallen lässt, ohne das dieses zerbricht. Die beiden haben sich zu einem Interview mit der Mathe-Redaktion bereit erklärt, in dem sie die Details des Eifall-Rituals vorstellen und die ausgeklügelte Strategie offenbaren, mit der sie es schaffen, jedes Mal das goldene Ei zu werfen, bevor die Polizei sie stoppen kann. \(\endgroup\)
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Mathematik: Tanzende Kreise
Released by matroid on Fr. 08. April 2022 21:55:10
Written by Triceratops - (369 x read)
Spiele+Rätsel  \(\begingroup\)

Tanzende Kreise

Wie komplexe Systeme aus einer einfachen Regel entstehen können

In diesem Artikel schauen wir uns eine Simulation von Kreisen an, die folgende Regel befolgen: wenn sich zwei Kreise nahe genug sind, "tanzen" sie miteinander. Genauer gesagt sollen sie um den Mittelpunkt ihrer Mittelpunkte rotieren. Obwohl diese Regel so einfach ist, können daraus komplexe Systeme entstehen. Wir werden uns auch besonders schöne Konstellationen anschauen. Wenn die Kreise unterschiedliche Orientierungen haben, können sogar "schwarze Löcher" entstehen.
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Physik: Transformationsgleichungen für die kinetische Energie
Released by matroid on So. 03. April 2022 11:13:07
Written by Roland17 - (275 x read)
Physik  \(\begingroup\) Betrachtet wird hier die klassische, nichtrelativistische kinetische Energie W_k = 1/2 m v^2. Zunächst ein Paradox (1): Abb. 1: Ein Pkw, ein Lkw und ein Güterzugwagen mit Pkw fahren nach rechts, abgebildet zu zwei Zeitpunkten; Draufsicht Ein Pkw mit der Masse m fährt auf einer geraden, ebenen Straße mit der Geschwindigkeit v_1=100 km/h (Abb. 1). Dabei hat er die kinetische Energie W_k1=1/2 m 100^2 [ohne (km/h)² ]. Dann beschleunigt er und fährt mit v_2 = 110 km/h auf den vor ihm mit 100 km/h fahrenden Lastwagen auf, also mit der kinetischen Energie W_k2=1/2 m 110^2 . Die Energiedifferenz \Delta W_k=W_k2 -W_k1 =1/2 m(110^2 -100^2)=1/2 m*2100 verrichtet an den beiden Wagen Verformungsarbeit. Parallel zu Straße verläuft eine Eisenbahnlinie (Abb. 1) und dort fährt gerade ein Güterzug mit ebenfalls v_1=100 km/h neben dem Personenwagen her. Auf einem seiner Wagen, der nur aus einer Plattform mit Wänden an den Enden besteht, steht am hinteren Ende auf gleicher Höhe wie der Pkw auf der Straße ein baugleicher Pkw, der parallel zu ersterem in gleicher Weise beschleunigt. Als er gegen die Wand am Ende der Plattform auf Höhe des Lkw prallt, hat er auch gerade die Geschwindigkeit v_2 = 110 km/h erreicht. Dort verrichtet er mit seiner kinetischen Energie die Verformungsarbeit \Delta W_k=W_k2 -W_k1 =1/2 m(10^2 -0^2)=1/2 m*100 . Warum wird beim Pkw auf der Straße scheinbar 21mal mehr Energie frei, obwohl beide ganz parallel nur um 10 km/h beschleunigt haben? Das ist doch paradox. Zur Auflösung des Paradoxes betrachte man zur Vereinfachung ein einziges Fahrzeug, das seine Geschwindigkeit nur verdoppelt. Es habe im mit der Straße verbundenen Bezugs- bzw. Inertialsystem I zunächst die Geschwindigkeit v_1 . Mit ihm sei dann das Inertialsystem I´ verbunden, welches sich gegenüber I mit v_1 bewegt (Abb. 2). \(\endgroup\)
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buhs Montagsreport: Jahrtausendproblem gelöst?
Released by matroid on Fr. 01. April 2022 00:00:24
Written by buh - (273 x read)
Bildung  \(\begingroup\) Das Gerno-Logo für buhs Montagsreport Jahrtausendproblem gelöst? Erste echte geometrische Inversion 03869 Duemmer*. Die Zeit der bahnbrechenden Leistungen Einzelner geht weiter! Der seit der Jahrtausendwende als Erbe der Titanen bekannte Gerno Twolte&Team©* hat nach seinen Geniestreichen erneut eine mathematische Sensation, die natürlich an vorderster Stelle***** in der 21. Ausgabe****** der "LCoMath" veröffentlicht wurde, vollbracht: Das regelmäßige Siebeneck** ist \(\endgroup\)
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Mathematik: Teilbarkeit von Binomialkoeffizienten durch Primzahlen und Primzahlpotenzen
Released by matroid on Mi. 23. Februar 2022 18:00:03
Written by Nuramon - (447 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\)

Teilbarkeit von Binomialkoeffizienten durch Primzahlen und Primzahlpotenzen

Die Aussage, dass für eine Primzahl $p$ der Binomialkoeffizient $\binom pk$ für $1\leq k \leq p-1$ durch $p$ teilbar ist, ist für die meisten auf dem Matheplaneten wohl nicht neu. Weniger bekannt dürfte sein, wie man für einen beliebigen Binomialkoeffizienten $\binom nk$ effizient herausfinden kann, mit welchem Rest er durch $p$ teilbar ist, oder wie man die größte Potenz von $p$ findet, die $\binom nk$ teilt. Die Antworten auf diese Fragen liefern die Sätze von Lucas und Kummer, die wir in diesem Artikel herleiten werden. Indem wir auch die Binomialkoeffizenten $\binom {-n}k$ betrachten, werden sich zudem noch weitere Zusammenhänge offenbaren.
  • Definition und erste Teilbarkeitseigenschaften
  • Der Satz von Lucas
  • Eine Symmetrie im Pascalschen Dreieck
  • Die Formel von Legendre
  • Der Satz von Kummer
  • Abschließende Worte
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