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Differentiation » Differentialrechnung in IR » Differenzialrechnung Grundverständnis (Inneres, Häufungspunkte)
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Universität/Hochschule J Differenzialrechnung Grundverständnis (Inneres, Häufungspunkte)
curious_mind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-02-10


Hallo,

mal zwei (wichtige) Fragen, die ich vor der Klausur wirklich mal verstehen sollte:

1. Wieso wird bei vielen Sätzen, z.B diesem


vorausgesetzt, dass a ein Häufungspunkt ist? Diese Voraussetzung finde ich bei vielen Sätzen zum Thema Diff.rechnung.

Ich weiß, was ein HP ist, aber nicht wieso er so oft (und vor allem wann er) vorausgesetzt werden muss.

2. Wieso wird bei vielen Sätzen, z.B. diesem


vorausgesetzt, dass die Funktion $f:I \longrightarrow \mathbb{R}$ im Inneren von $I$ differenzierbar ist, also wieso sind die Randpunkte egal bzw. wieso ist nur das Innere wichtig?

Danke schon mal. :)
P.S. Sorry, wenn die Fragen dumm sind, aber wer nicht fragt...



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-02-10


Hi,

1. Ich finde es verständlich, dass das verwirrend ist. Es ist auch das erste Mal, dass ich es so geschrieben sehe. Der Autor meint hiermit nur, dass $a$ auch ein Randpunkt sein kann (da genau $I$ und die Randpunkte Häufungspunkte von $I$ sind).

2. Wenn du dir den Beweis anschaust, siehst du, dass wir keine Differenzierbarkeit am Rand brauchen. Tatsächlich setzt man für Differenzierbarkeit normalerweise voraus, dass wir uns im Inneren eines Raumes befinden und nicht am Rand. Erinnere dich, wie wir Differenzierbarkeit haben wollen: Approximation von links und von rechts. Man kann nicht von beiden Richtungen kommen, wenn wir am Rand sind.

Das ist in höheren Dimensionen ein noch größeres Problem. Deshalb wirst du in den nächsten Semestern immer "Sei $U$ offen und sei $f:U \to X$ differenzierbar, ..." lesen.


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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-02-10

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Hallo curious_mind,

1. Dass ein gegebener Punkt ein Häufungspunkt der gegebenen Menge ist, setzt man meistens dann voraus, wenn man garantieren möchte, dass es eine Folge gibt, die gegen diesen Punkt konvergiert, ohne dass jedes Folgenglied zu dem Punkt identisch ist. Das ist dann wichtig, wenn man Grenzwerte von Ausdrücken betrachtet, die in diesem Punkt gar nicht definiert sind. Ganz zentral dabei natürlich der Differenzenquotient $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$. Der ist in $a$ gar nicht definiert, wenn man also den Grenzwert für $x\to a$ berechnen will, dann muss man irgendwie dafür sorgen, dass es auch tatsächlich eine Folge $x_n$ gibt, die gegen $a$ konvergiert, und für die der Differenzenquotient auch definiert ist. Bei l'Hospital dasselbe: Der betrachtete Ausdruck ist in $a$ gar nicht definiert. Um den Grenzwert berechnen zu können, muss dann $a$ ein Häufungspunkt sein.

2. Solche Sätze gehen oft in irgendeiner Form auf den Satz von Rolle zurück. Hier ist zum Beispiel eine schöne Auflistung von Sätzen, die das tun. Im Beweis des Satzes von Rolle wird gezeigt, dass es im Inneren des Definitionsbereiches eine Extremalstelle gibt, für die dann die zu zeigende Aussage (im Fall von Rolle das Verschwinden der Ableitung) bewiesen werden muss. Dazu wird die Differenzierbarkeit verwendet, diese ist aber nur in einer offenen Umgebung des Punktes notwendig, und muss nicht bis zum Rand gelten. Dass es eine solche offene Umgebung der Extremalstelle gibt, in der die Funktion differenzierbar ist, wird bereits durch Differenzierbarkeit im Inneren garantiert.
Davon abgesehen wird die Differenzierbarkeit auch gerne nur im Inneren einer Menge überhaupt definiert. In 1d könnte man sie prinzipiell auch auf dem Rand des Definitionsbereichs definieren. In mehreren Dimensionen gehen aber einige Sachen kaputt. Zum Beispiel wäre dann das totale Differential (eine Verallgemeinerung der Ableitung in höherdimensionalen Räumen) nicht mehr eindeutig. Und wenn Differenzierbarkeit auf dem Rand gar nicht definiert ist, dann kann man sie dort natürlich auch nicht voraussetzen.

Viele Grüße
Vercassivelaunos

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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curious_mind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-15


Ok, danke. :)



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curious_mind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-01


Doch noch eine Rückfrage:

Und wieso steht im L'Hospital, dass $f$ bzw. $g$ differenzierbar auf $I\setminus \{a\}$ sein müssen? Also wieso wird $a$ ausgeklammert? Bei der Definition der Ableitung musste $a$ nur Häufungspunkt sein, wurde aber nicht ausgeklammert.



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-03-01

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Damit werden die Voraussetzungen für die Anwendbarkeit des Satzes ja nur abgeschwächt. Die Funktionen dürfen in $a$ differenzierbar sein, müssen aber nicht. Das ist vor allem nützlich, wenn die Ableitungen für $x\to a$ beide divergieren. Zum Beispiel für $f(x)=\sqrt[3]x,~g(x)=\sqrt[5]x$. Beide sind in $0$ nicht differenzierbar, l'Hospital lässt sich auf den Grenzwert $\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{g(x)}$ trotzdem anwenden. (Nicht, dass das hier sinnvoll wäre, aber prinzipiell ginge es)
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curious_mind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-02


Ok, klasse Danke. Du erklärst gut.

Noch was: Im Fall $\mathbb{R}^n$ wird nicht vorausgesetzt, dass $a$ ein HP ist, sondern dass $a$ ein innerer Punkt ist.

Ist ein innerer Punkt quasi das mehrdimensionale Pendant zum HP in $\mathbb{R}$?

Geht es da also auch nur darum, dass wir eine Umgebung um diesen Punkt benötigen, sodass man von links und von rechts aus eine Folge findet, die gegen den Punkt konvergiert?

Ich frage deshalb, weil ja bei einem inneren Punkt noch nicht gesagt ist, dass es auch eine Folge gibt, die gegen diesen Punkt konvergiert (ohne dass alle Folgenglieder identisch mit dem Punkt sind).

Noch etwas:
Was ist, wenn eine Menge nur einen Punkt enthält? Ist eine Funktion, z.B. $f: \{1\} \longrightarrow \mathbb{R}, f(x)=x $, differenzierbar auf $\{1\}$?

Ich würde sagen: $1$ ist kein HP von $\{1\}$, weil nicht in jeder beliebig kleinen Umgebung von $1$ ein Punkt ungleich $1$ liegt. Somit ist $f$ nicht differenzierbar?

Noch etwas:
Wenn $f$ auf $M \subset \mathbb{R}^n$ differenzierbar auf ganz $M$ ist, folgt daraus, dass $M$ gleich seinem Inneren ist, also $M$ offen ist?



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-03-02

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Das mehrdimensionale Pendant zum Häufungspunkt ist der Häufungspunkt. Die Definition lässt sich eins zu eins auf alle metrischen Räume übertragen: $a$ ist Häufungspunkt der Menge $M$, wenn in jeder offenen Umgebung von $a$ ein Element von $M\backslash\{a\}$ liegt. Das funktioniert auch in $\R^n$. Beispielsweise ist $(0,0)$ ein Häufungspunkt der Menge $M:=\{\frac{1}{n}(\cos n,\sin n)~\vert~n\in\N\}$. Das sind Punkte in $\R^2$, die in einer Spirale mit Mittelpunkt $(0,0)$ angeordnet sind. Aber $(0,0)$ ist selbst gar nicht in $M$ enthalten, also sicherlich kein innerer Punkt.
Innere Punkte sind dadurch charakterisiert, dass es eine Umgebung des Punktes gibt, die vollständig in der Menge enthalten ist, im Gegensatz zum Häufungspunkt, dessen Umgebungen die Menge lediglich schneiden müssen, ohne unbedingt ganz enthalten zu sein. Insbesondere heißt das auch, dass es immer eine Folge gibt, die gegen einen inneren Punkt konvergiert, ohne den Punkt als Folgenglied zu enthalten, da ja eine offene Umgebung des inneren Punktes in der Menge enthalten sein muss.
Es stimmt allerdings, dass jeder innerer Punkt ein Häufungspunkt ist, und dass innere Punkte in der mehrdimensionalen Analysis eine ähnliche Rolle erfüllen wie Häufungspunkte in der eindimensionalen. Konkret garantieren sie, dass man sich dem Punkt aus allen Richtungen annähern kann. Im Eindimensionalen ist das bereits dadurch garantiert, dass man einen Häufungspunkt ist, da es überhaupt nur eine Richtung gibt (links und rechts zähle ich hier als eine Richtung, da die beiden Richtungen entlang der selben Geraden zeigen). Im Mehrdimensionalen reicht das aber nicht aus. Wenn du obiges Beispiel anschaust, dann wirst du merken, dass $M$ keinen einzigen Punkt auf der $x$-Achse enthält ($\sin n$ ist niemals 0 für $n\in\N$). Man kann sich dem Häufungspunkt also nicht entlang der $x$-Achse annähern. Für die Differenzierbarkeit wäre das aber wünschenswert.

Zu deinem Beispiel mit $f:\{1\}\to\R$, da hast du Recht. Diese Funktion ist nicht differenzierbar, denn der Differenzenquotient hat keinen Grenzwert. Und zwar weil er gar nicht definiert ist, denn der Differenzenquotient in $a$ lässt sich nur für $x\neq a$ berechnen.

Und zur Differenzierbarkeit auf ganz $M$: Das folgt trivialerweise daraus, dass Differenzierbarkeit überhaupt nur in inneren Punkten definiert ist. Wäre $M$ nicht offen, dann könnte $f$ schon per Definition gar nicht auf ganz $M$ differenzierbar sein.
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curious_mind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-02


Noch mal kurz zur offenen Menge, bevor ich deine Antwort zuende verarbeiten kann:
Ja, ok, bei einem inneren Punkt muss eine offene Menge (Umgebung) innerhalb der Menge um diesen Punkt Teil der Menge sein. Aber damit ist ja nicht gesagt, dass in dieser Umgebung auch unendliche viele Punkte drin sind, sodass da eine Folge definiert werden kann...?



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-03-02

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Offene Umgebungen enthalten per Definition der Offenheit für jedes $x$ in der Umgebung eine hinreichend kleine $\varepsilon$-Kugel $B_\varepsilon(x)$, und die $\varepsilon$-Kugel enthält unendlich viele Punkte.
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curious_mind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-04

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2020-03-02 22:31 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 9 schreibt:
und die $\varepsilon$-Kugel enthält unendlich viele Punkte.

Dass in $\epsilon-$Umgebungen unendlich viele Punkte drin sind, leuchtet mir nur ein, wenn wir immer von Intervallen ausgehen.

Aber die gibt es in $\mathbb{R}^n$ ja so nicht. Und außerdem kann die Grundmenge doch eine endliche Teilmenge von $\mathbb{R}$ sein.

Z.B. lass

$M:=\{1,2,3,4,5,6,7\}$ sein. Wenn ich da jetzt eine $\epsilon-$Umgebung um die $4$ definiere, mit $\epsilon:=2$, so ist $M$ eine Umgebung von $4$; die Voraussetzung

$U_{\epsilon}(4)(x):=\{x\in M \mid d(x,4)<\epsilon\}$ ja erfüllt, denn die $3$ und die $5$ etwa, sind entsprechend nah an der $4$ und liegen zudem in der $\epsilon-$Umgebung von $4$. Trotzdem sind da nicht unendlich viele Zahlen in dieser Menge und schon gar nicht lässt sich eine Folge bilden mit Grenzwert $4$.

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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-03-04

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Das stimmt zwar, aber wir betrachten als Grundmenge ja $\R^n$, nicht irgendeine Teilmenge davon. Und es gibt keine in $\R^n$ offene $\varepsilon$-Kugel, die in $M$ enthalten ist. Entsprechend ist $M$ als Teilmenge von $\R^n$ nicht offen (das Innere ist sogar leer!) und damit als Definitionsbereich differenzierbarer Funktionen nicht zulässig.

Es stimmt aber, dass $M$ als Teilmenge von sich selbst offen ist. Das ist sogar eines der Axiome von topologischen Räumen (die eine Verallgemeinerung des Begriffs der Offenheit erlauben): Der ganze Raum selbst ist immer offen. Nur betrachten wir $M$ als Teilmenge von $\R^n$, und dann müssen auch wirklich ganze $\varepsilon$-Kugeln enthalten sein.
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Ah,



... es muss bei der Offenheit in $\IR^n$ für alle Elemente in $\IR^n$ gelten, nicht bloß die Elemente in $M$!

Ja, dann ist das klar. Ok. Danke. Ich melde mich, wenn noch Fragen auftauchen. Vielen lieben Dank!



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Noch eine kurze Rückfrage. Verstehe ich das richtig vom Zusammenhang her:

Sei $a$ innerer Punkt von $M$

     $\Downarrow$

$M$ ist Umgebung von $a$

     $\Downarrow$

$\exists U \subseteq M : a \in U$ und $U$ offen

     $\Downarrow$

Da $U$ offen, folgt $U$ ist Umgebung aller seiner Punkte

     $\Downarrow$

$\forall u \in U \; \exists U' \in U$ ...

und dann geht das so weiter für alle Punkte in $U$?







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Kezer
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Ja, klar. Versuche es doch mal in $\mathbb{R}^2$ aufzuzeichnen.


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$\forall u\in U\exists U'\in U~...$

Es müsste eigentlich $U'\subseteq U$ heißen. Und dann ist es auch schnell klar, dass $U$ selbst ein geeignetes $U'$ ist, denn $U\subseteq U$ und $u\in U$.
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Ja, gut, so meine ich das. Aber jedenfalls könnte man dann für jeden Punkt auch wieder kleinere Umgebungen finden.

Wollte nur sichergehen, dass ich das richtig verstehe, also wenn ein Punkt innerer Punkt ist, folgt daraus eine Kette weiterer Dinge. Insbesondere dass es noch unendlich viele weitere innere Punkte geben müsste.



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Ja. Allerdings würde ich das gar nicht als eine ewige Kette von Schlüssen formulieren, sondern kurz und knapp:

$U\subseteq \R^n$ offen und $U\subseteq M~\Longrightarrow$ $M$ ist Umgebung von allen $u\in U$.
\(\endgroup\)


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curious_mind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-08


Jo, stimmt, das ist natürlich direkter.

Allerdings ging's mir um diese Implikation:

$a$ innerer Punkt von $M \subseteq X \Rightarrow$ Es gibt unendlich viele weitere innere Punkte in der Nähe.

Merci beaucoup, wie immer.



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, eingetragen 2020-04-08


Wie schon angedeutet, den Formalismus sollte man natürlich nachvollziehen, aber die beste Möglichkeit, das zu verstehen, ist es geometrisch vor den Augen zu haben.

Und eine z.B. Kreisscheibe hat nun mal unendlich viele Punkte.


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curious_mind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-09


Geometrisch ist es mir eh klar. :-D



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curious_mind hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
curious_mind hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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