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Lineare Algebra » Vektorräume » Untergruppe von Vektorraum auf K=Z/pZ bildet wieder einen K-Vektorraum
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Universität/Hochschule Untergruppe von Vektorraum auf K=Z/pZ bildet wieder einen K-Vektorraum
alex160897
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-12-01


$K = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$
$p$ Primzahl, also $K$ Körper
$V$ $K$-Vektorraum
$(W, +)$ Untergruppe von $(V, +)$

Zu zeigen: $W$ ist $K$-Vektorraum

Ich dachte, wenn ich zeigen kann, dass $W$ ein Untervektorraum von $V$ ist, ist auch gleich gezeigt, dass $W$ ein $K$-Vektorraum ist.

I) $W \neq \emptyset$ (da $0 \in W$)

II) $w_1 + w_2 \in W$ (da $(W, +)$ Gruppe ist)

III) $k \cdot w \in W$

Bei III komm ich nicht weiter. :(



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-12-01


Jedes Element von $\IZ/p\IZ$ ist eine Summe von Einsen.



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alex160897
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-01


Vielen Dank für die Antwort :)

2020-12-01 16:46 - Triceratops in Beitrag No. 1 schreibt:
Jedes Element von $\IZ/p\IZ$ ist eine Summe von Einsen.

$$k \in K, w \in W, k \cdot w = (1 + 1 + ... + 1) \cdot w = 1 \cdot w + 1 \cdot w + ... 1 \cdot w = w + w + ... + w \in W$$ da $W$ unter $+$ abgeschlossen.

Meinst du so? Sieht irgendwie komisch notiert aus.

Falls ja: woher weiß ich $k = 1 + 1 + ... + 1$?



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-12-01


Wiederhole die Definition und die Grundlagen zu $\IZ/p\IZ$.



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-12-01


2020-12-01 16:43 - alex160897 im Themenstart schreibt:
I) $W \neq \emptyset$ (da $0 \in W$)

Hierzu: LinkZum Untergruppenkriterium



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alex160897
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-01


2020-12-01 16:54 - Triceratops in Beitrag No. 3 schreibt:
Wiederhole die Definition und die Grundlagen zu $\IZ/p\IZ$.

Hat $\IZ/p\IZ$ denn einen "Namen" unter dem ich nachlesen kann? Ich finde bei uns im Skript dazu nicht viel.

2020-12-01 16:55 - Triceratops in Beitrag No. 4 schreibt:
2020-12-01 16:43 - alex160897 im Themenstart schreibt:
I) $W \neq \emptyset$ (da $0 \in W$)

Hierzu: LinkZum Untergruppenkriterium

Hab es mir eben angeschaut und bin mir nicht ganz sicher, was du mir sagen möchtest. Mein Argument war gewesen, dass $(W, +)$ eine Gruppe ist, also ein neutrales Element 0 bezüglich der Addition enthält, also nicht leer ist. Ist das falsch?



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-12-01


1) de.wikipedia.org/wiki/Endlicher_K%C3%B6rper
2) Es geht einfach darum, dass (und warum) "die Menge ist nichtleer" nirgendwo in einem Untergruppen- oder Unterraumkriterium auftreten sollte, und wodurch es ersetzt werden sollte: "die Null ist enthalten".



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alex160897
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2020-12-01 17:21 - Triceratops in Beitrag No. 6 schreibt:
1) de.wikipedia.org/wiki/Endlicher_K%C3%B6rper
2) Es geht einfach darum, dass (und warum) das Wort "nichtleer" nirgendwo in einem Untergruppen- oder Unterraumkriterium auftreten sollte, und wodurch es ersetzt werden sollte (das neutrale Element ist enthalten).

Aber... doch nicht jedes Element eines endlichen Körpers muss über Summation von 1 erreicht werden können, oder? (Es macht für mich intuitiv Sinn, dass das bei den $\IZ/p\IZ$ durchaus so ist. Ich weiß nur gerade nicht, ob ich das direkt benutzen kann ohne viel hinzuschreiben. Oder was war deine Meinung zu meiner Notation von oben?)



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-12-01


Bei endlichen Körpern muss es nicht so sein, aber bei $\IZ/p\IZ$ ist es so. Und es folgt sofort aus der konkreten Beschreibung dieses Körpers (siehe dazu Wikipedia oder dein Skript). Alle Elemente sind ja $[k]$ mit $0 \leq k < p$, und das ist einfach die $k$-fache Summe von $[1] = 1$.



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