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Universität/Hochschule Eindeutige Summenzerlegung von Funktionalen
mpc
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  Themenstart: 2021-03-29

Eine Aufgabe im Buch von Dirk Werner lautet: Jedes lineare Funktional \(f\) auf \(l^\infty\) lässt sich eindeutig zerlegen in lineare Funktionale \(f=f_1+f_2\) , wobei \(f_2 \vert_{c_0} = 0 \) und \(f_1((x_n)_n)=\sum^\infty_{k=1}x_n t_n\) für passendes \((t_n)_n \in l^1\). Das klingt zwar einfach, aber ich komme nicht weit... Wenn man so eine Zerlegung hat, muss \(f_1(e_n)=t_n\) sein. ( \(e_n\) sind die Einheitsvektoren in \(l^\infty\) ). Aber ich komme mit der unendlichen Reihe nicht zurecht, weil dann ja die Linearität des Funktionales nicht mehr greifen kann. Weiters kann ich mir überhaupt nicht vorstellen, wie \(f_2\) aussehen soll. Hat das vielleicht was damit zu tun, dass \(\sum^N_1 e_k x_k\) für \(N \to \infty\) im Allgemeinen in der \(\infty\)- Norm NICHT gegen \((x_n)_n\) konvergiert , aber für Nullfolgen \((x_n)_n\) diese Konvergenz durchaus gilt? Lg


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mpc
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  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-29

Ich habe übersehen, dass \(f\) stetig angenommen wird, und denke dass die Aufgabe dadurch möglich wird...


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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-29

Versuch: In \(l^\infty\) konvergiert für alle \(x \in c_0\) die Summe \(\sum^N_{k=1}e_k x_k\) gegen \((x_n)_n \) für \(N \to \infty\). Daher, wegen der Linearität und Stetigkeit von \(f\): \(f(\sum^N_{k=1}e_k x_k) = \sum^N_{k=1} f(e_k) x_k \) konvergiert gegen \(f(x)\). Also \(f((x_n)_n)=\sum^\infty_{k=1} t_k x_k\) , mit \(t_k = f(e_k)\). Und \(f_2\) könnte man als \(f-f_1\) definieren, was als Differenz linearer Funktionale ein lineares Funktional ist, und auf \(c_0\) verschwindet. Stimmt das circa?


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