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Mathematik » Zahlentheorie » Pythagoreisches Tripel und elliptische Kurve
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Universität/Hochschule Pythagoreisches Tripel und elliptische Kurve
Ehemaliges_Mitglied
  Themenstart: 2022-07-02

Hallo, es geht um folgende Aufgabe: Man bestimmt alle Tripel $(a,b,c)\in \IZ^3$ mit der Eigenschaft, dass $a^2+b^2=c^2$ und $b^2+c^2=d^2$ für gewisses $d\in \IZ$ gilt. Als Hinweis sollte man eine (bijektive) Abbildung zwischen der Menge des obigen Tripels und der Menge der rationalen Lösungen der elliptischen Kurve $$y^2=x(x+1)(x+2)$$ herstellen. Habt ihr irgendwelche Ansätze für die Abbildung? (Ich hatte mit der bekannten Parametrisierung des Pythagoreischen Tripels herumprobiert, kriege es leider nicht hin.)


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kurtg
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-07-02

\sourceon Magma P3 := ProjectiveSpace(Rationals(),3); Y := Scheme(P3,[a^2+b^2-c^2,b^2+c^2-d^2]); C := Curve(Y); E,m := EllipticCurve(C, C![1,0,1,1]); m; // jetzt noch den Iso zu deinem E nachschalten F := EllipticCurve([0,3,0,2,0]); flag, mEF := IsIsomorphic(E,F); mEF; m * mEF; RankBounds(F); // Rang 0 TorsionSubgroup(F); // C_2 x C_2 \sourceoff Übrigens weiß ich nicht, wie die Abbildung m zu interpretieren ist. Die drei Funktionen sind jedenfalls nicht die x,y,z-Koordinate von E. Vielleicht findest du es heraus und schreibst es hier. Sonst schaue ich es mir an.


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Ehemaliges_Mitglied
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-02

Erst mal vielen Dank für deine Codes. Ich habe sie in http://magma.maths.usyd.edu.au/calc/ rein geworfen und bekomme \sourceon Magma Mapping from: Crv: C to CrvEll: E with equations : 8*a - 8*d 64*b 1/2*a - c + 1/2*d Elliptic curve isomorphism from: CrvEll: E to CrvEll: F Taking (x : y : 1) to (1/16*x - 1 : 1/64*y : 1) Mapping from: Crv: C to CrvEll: F Composition of Mapping from: Crv: C to CrvEll: E with equations : 8*a - 8*d 64*b 1/2*a - c + 1/2*d and Elliptic curve isomorphism from: CrvEll: E to CrvEll: F Taking (x : y : 1) to (1/16*x - 1 : 1/64*y : 1) 0 0 Abelian Group isomorphic to Z/2 + Z/2 Defined on 2 generators Relations: 2*$.1 = 0 2*$.2 = 0 \sourceoff Ich kann raten, dass du eine Untervarietät $Y\subset \mathbb{P}^3_\IQ$ (welche den Tripeln entspricht) definiert hast und wolltest einen expliziten Iso $Y\cong E$ mit $E: y^2=x(x+1)(x+2)$ finden. Ich weiß aber nicht, wie die Codes zu interpretieren sind: Wie werden $a, b, c$ und $d$ auf $x, y$ jeweils abgebildet? (Meinst du das?)


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kurtg
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-07-02

Genau.


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kurtg
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-07-05

(war irrelevant)


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zathe
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Mitteilungen: 83
  Beitrag No.5, eingetragen 2022-07-10

Hi, eventuell hilft hier die Feststellung, dass pythagoreische Tripel über die Theorie der kongruenten Zahlen mit elliptischen Kurven zusammenhängen. Siehe dazu: https://en.wikipedia.org/wiki/Congruent_number#Relation_to_elliptic_curves $a^2+b^2=c^2$ liefert demnach eine rationale Lösung der elliptischen Kurve $$s^{2}=r^{3}-n^{2}r$$ mit $n:=\frac{1}{2}ab$, während $b^2+c^2=d^2$ eine rationale Lösung der elliptischen Kurve $$s^{2}=r^{3}-n^{2}r$$ mit $n:=\frac{1}{2}bc$ liefert. Viele Grüße zathe


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