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Lineare Algebra » Bilinearformen&Skalarprodukte » Bilinearformen und orthogonale Summen
Autor
Universität/Hochschule Bilinearformen und orthogonale Summen
braunfredius
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 18.05.2022
Mitteilungen: 6
  Themenstart: 2022-07-05

Es geht um folgende Aufgabe: Auf V := \IR^3 sei eine bilineare Form \beta gegeben durch die Matrix (1,3,1;3,2,0;1,0,1). Schreiben Sie V als orthogonale Summe eindimensionaler Unterräume. Nun weiß ich leider absolut nicht wie ich vorzugehen habe. Was ich auf jeden Fall zu wissen meine ist, dass die Matrix folgendermaßen aufgestellt werden kann: (\beta(v_1,v_1),\beta(v_1,v_2),\beta(v_1,v_3);\beta(v_2,v_1),\beta(v_2,v_2),\beta(v_2,v_3);\beta(v_3,v_1),\beta(v_3,v_2),\beta(v_3,v_3)) Darf ich nun eine beliebige Basis dafür verwenden? Dann würde ich mithilfe der Standardbasis darauf kommen, dass \beta(v,w) = v*A*w mit A = (1,3,1;3,2,0;1,0,1) = M_v(\beta) Und wie könnte ich nun V als orthogonale Summe darstellen? Es gilt ja nach Aufgabe \V = \IR^3 . Aber könnte ich dann nicht einfach mutmaßen, dass folgendes gilt? V = (1;0;0)\IC \oplus\ (0;1;0)\IC \oplus\ (0;0;1)\IC Ich wäre wirklich sehr dankbar, wenn mir jemand etwas Klarheit geben könnte :)

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wladimir_1989
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Mitteilungen: 1561
Wohnort: Freiburg
  Beitrag No.1, eingetragen 2022-07-05

Hallo braunfredius, ich vermute, dass wir hier nach einer Basis suchen, deren Vektoren orthogonal bezüglich \(\beta\) sind. lg Wladimir

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braunfredius
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 18.05.2022
Mitteilungen: 6
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-05

Danke dir Wladimir, \quoteon ich vermute, dass wir hier nach einer Basis suchen, deren Vektoren orthogonal bezüglich \(\beta\) sind. \quoteoff Das bedeutet ich suche Vektoren, s.d. \beta(v,w)=cases( !=0,v=w;0,v!=w) Liege ich damit richtig? Werde ich mal versuchen und mich dann nochmal melden, Tipps würde ich allerdings auch jetzt schon gerne mitnehmen :) lg Leon

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mathilde01
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Mitteilungen: 53
  Beitrag No.3, eingetragen 2022-07-06

Hallo, ja das ist richtig, wobei die Vektoren nur orthogonal sein müssen und nicht orthonormal.

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