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Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Welches Körperaxiom ist verletzt?
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Universität/Hochschule Welches Körperaxiom ist verletzt?
mmarschn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-12-01


Hallo,
es geht um den Nachweis von Körperaxiome. Wir haben folgende Aufgabe gegeben:

Sei M = Q × Q. Zeigen Sie, dass M bezüglich der Verknüpfungen

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
(a, b) · (c, d) = (ac, bc + ad)

kein Körper ist. Welches Axiom ist verletzt?

Problem/Ansatz:
Jetzt ist ja normalerweise für die Multiplikation die Verknüpfung wie folgt definiert: (a, b) · (c, d) = (ac + bd, bc + ad) was dann auch einem Körper entsprechen würde. Aber nachdem ich die Axiome mehrmals durchgerechnet habe, kann ich immer noch keine Verletzung bei Verwendung der obigen Verknüpfung feststellen.

Ich hätte auf Assoziativgesetz der Multiplikation oder das Distributivgesetz getippt, aber entweder verrechne ich mich da immer, oder ich habe den falschen Ansatz.

Könnt ihr mir hier weiterhelfen? Gibt es etwas das ich hier anders machen muss, als bei "einelementigen" Verknüpfungen?

Danke!



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-12-01


(0,1) hat kein Inverses.



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Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-12-01


Die restlichen Axiome, also die eines kommutativen Ringes, sind übrigens erfüllt. Es handelt sich ganz einfach um $\IQ[X]/\langle X^2 \rangle$. Mehr zu diesem Ring (mit $\IR$ als Koeffizientenring) in diesem Artikel: LinkAbleitungen mit dualen Zahlen



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