| Autor |
 Irreduzible Polynome zweiten Grades in Z_3 (Leitkoeffizient 1) |
|
Enno_M
Neu 
Dabei seit: 03.07.2022
Mitteilungen: 4
 |  Themenstart: 2022-07-03
|
Hallo zusammen,
ich sitze jetzt schon viel zu lange an dieser wahrscheinlich leichten Aufgabe und komme nicht weiter:
Die genaue Aufgabe lautet:
"Finden Sie alle irreduziblen Polynome mit Leitkoeffizient 1 über dem Z3 vom Grad 2."
Ich habe bis jetzt rausgefunden:
- ein Polynom vom Grad 2 ist irreduzibel, wenn es keine Nst besitzt.
- Es gibt 9 Polynome 2. Grades in Z3(?)
sind es diese:
x²+x+1
x²+x+2
x²+2x+1
x²+2x+2
x²+x
x²+2x
x²+1
x²+2
x²
Wie finde ich heraus, wann ein Polynom eine Nullstelle hat in Z3? Muss ich hier Modulo rechnen?
Wäre sehr dankbar für Hilfe..
Beste Grüße
Enno
|
 Profil
|
Triceratops
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 6472
Wohnort: Berlin
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2022-07-04
|
Das ist richtig soweit. Weil der Körper* $\IF_3$ nur drei Elemente hat, nämlich $0,1,2$, ist es relativ leicht, die Nullstellenfreiheit zu prüfen. Setze einfach die Elemente der Reihe nach ein. Du kannst auch $2=-1$ benutzen. Außerdem hat ein Polynom ohne konstanten Term immer $0$ als Nullstelle; die fliegen also sowieso raus.
Du kannst auch einmal hier reinschauen: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1518
*Warum ich $\IF_3$ schreibe, steht hier: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/fav.php?op=view&fav_id=86334
|
Profil
|
Enno_M
Neu
Dabei seit: 03.07.2022
Mitteilungen: 4
|  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-04
|
Hey danke dir schonmal 🙃
Soweit klar, aber warum 2 = -1?
beste Grüße
Enno
|
Profil
|
wladimir_1989
Senior 
Dabei seit: 23.12.2014
Mitteilungen: 1726
Wohnort: Freiburg
|  Beitrag No.3, eingetragen 2022-07-04
|
Hallo Enno_M und willkommen auf dem Matheplaneten!
\quoteon(2022-07-04 18:09 - Enno_M in Beitrag No. 2)
aber warum 2 = -1?
\quoteoff
Weil \(1+2=0\ \ \text{mod}\ 3\) gilt.
lg Wladimir
|
Profil
|
kurtg
Senior 
Dabei seit: 27.08.2008
Mitteilungen: 1304
| Beitrag No.4, eingetragen 2022-07-04
|
Du kannst auch prüfen, ob die Diskriminante kein Quadrat ist.
|
Profil
|
Enno_M
Neu
Dabei seit: 03.07.2022
Mitteilungen: 4
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-05
|
Hallo,
also dank euch beiden :)
Aber warum ist 2 mod 3 -1, ist 2 mod 3 nicht 2? Und an welcher Stelle rechne ich modulo, vor dem Einsetzen?
sorry für die ganzen Fragen.
|
Profil
|
Triceratops
Wenig Aktiv
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 6472
Wohnort: Berlin
| Beitrag No.6, eingetragen 2022-07-05
|
Wiederhole einmal die Definition / Konstruktion von endlichen Körpern. Das ist notwendig, bevor du dich mit einer Aufgabe beschäftigen kannst, in der diese vorkommen.
https://de.wikipedia.org/wiki/Endlicher_K%C3%B6rper
https://de.wikipedia.org/wiki/Restklassenring
In $\IF_3$ gilt $3=0$, also auch (addiere $-1$ auf beiden Seiten) $2=-1$.
|
Profil
|
Enno_M
Neu
Dabei seit: 03.07.2022
Mitteilungen: 4
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-05
|
Hallo
danke für deine Hilfe. Habs gelöst glaub ich.
habe jetzt die Polynome gefunden:
x^2 + x + 2
x^2 + 2x + 2
x^2 + 1
|
Profil
|
| Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
wladimir_1989
Senior
Dabei seit: 23.12.2014
Mitteilungen: 1726
Wohnort: Freiburg
| Beitrag No.8, eingetragen 2022-07-05
|
Hallo,
die Polynome sind richtig.
lg Wladimir
|
Profil
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
