Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Komplexe Zahlen » Assoziativität für Exponentialfunktion
Autor
Universität/Hochschule J Assoziativität für Exponentialfunktion
vinca
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.12.2021
Mitteilungen: 15
Wohnort: Zürich
  Themenstart: 2022-07-05

Ich bin gerade ziemlich verwirrt, da ich das schon seit der Grundschule nicht mehr hinterfragt habe. Gilt die Exponentenregel $(a^n)^m = a^{nm}$ auch für komplexe Zahlen? Mir ist die Frage gekommen, da $1^t = 1$ Für alle t aber wenn man für $1=e^{2\pi i}$ einsetzt passiert etwas Komisches: $1^t = (e^{2\pi i})^t ≠ e^{2\pi it}$


   Profil
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 9527
Wohnort: Rosenfeld, BW
  Beitrag No.1, eingetragen 2022-07-05

Hallo, nein, das gilt im Komplexen i.a. nicht. Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Mathematik' in Forum 'Komplexe Zahlen' von Diophant]


   Profil
nzimme10
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 1505
Wohnort: Köln
  Beitrag No.2, eingetragen 2022-07-05

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, das Problem beginnt schon ein bisschen früher. Bevor du dich fragst, ob bestimmte Rechenregeln gelten, solltest du dir ja erstmal überlegen, was $z^w$ für komplexe Zahlen $z,w\in \mathbb C$ überhaupt bedeuten soll. Ist $a>0$ eine reelle Zahl, dann definiert man üblicherweise $a^{x}:=\e^{\ln(a)\cdot x}$ für jedes $x\in \mathbb R$. Diese Definition ist unter anderem genau deshalb so gemacht, dass $(a^{x})^y=a^{xy}$ für alle $a>0$ und $x,y\in \mathbb R$ gilt. Im Komplexen stößt man dabei aber schnell an Grenzen. Die komplexe Exponentialfunktion $\exp\colon \mathbb C\to \mathbb C^*$ ist zwar nach wie vor surjektiv, aber nicht mehr injektiv. Es gibt also keinen "natürlichen Logarithmus" auf ganz $\mathbb C^*$. Man kann zwar auf bestimmten Gebieten trotzdem einen sog. Zweig des Logarithmus definieren und dann auf diesen Gebieten auch definieren, was $z^w$ bedeuten soll, aber man hat viele verschiedene Möglichkeiten, welchen Zweig man genau nimmt. Die Moral der Geschichte ist, dass die übliche Definition auf den reellen Zahlen im Komplexen zu Problemen führt. LG Nico\(\endgroup\)


   Profil
vinca hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
vinca hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2022 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]