| |
| Autor |
 Erwartungswert und Kovarianz |
|
Ehemaliges_Mitglied
 |  Themenstart: 2022-07-05
|
Hey,
ich habe folgenden Zusammenhang in einem Buch gefunden:
Kann mir vielleicht jemand sagen, wie man hierauf kommt?
Ich habe ehrlich gesagt keine Ahnung, wie hier der Zusammenhang zischen Erwartungswert und Kovarianz ist ($X$ und $Y$sind unabhängige ZV).
Ich würde mich wirklich sehr über Hilfe freuen.
LG
Pfandflasche007
|
 Profil
|
zippy
Senior 
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 3957
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-07-05
|
Die wesentliche Eigenschaft der bedingten Erwartung $E[Y|X]$ ist$$
E\bigl[f(X)\,E[Y|X]\bigr] = E[f(X)\,Y] \;.
$$Wende das auf die Definition der Kovarianz$$
\operatorname{cov}(X,Y) =
E\bigl[\bigl(X-E[X]\bigr)\bigl(Y-E[Y]\bigr)\bigr] =
E\bigl[\bigl(X-E[X]\bigr)\,Y\bigr] -
E\bigl[\bigl(X-E[X]\bigr)\,E[Y]\bigr]
$$an und und setze einmal $f(X)=1$ und einmal $f(X)=X-E[X]$.
\quoteon(2022-07-05 15:40 - Pfandflasche007 im Themenstart)
($X$ und $Y$sind unabhängige ZV).
\quoteoff
In diesem Spezialfall ist $E[Y|X]=E[Y]$.
--zippy
|
Profil
|
Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-05
|
Hey zippy,
vielen lieben Dank für deine Antwort und tut mir leid, dass ich nochmal eine Rückfrage stelle, aber ich habe leider noch nicht so ganz verstanden, wie du das meinst.
Wenn ich einmal $f(x)=1$ setzte erhalte ich ja gerade
$E[f(X)\,Y] =E[Y]$ und mit $f(x)=X-E[X]$ gerade $E\bigl[\bigl(X-E[X]\bigr)\,Y\bigr]$ und ich weiß ehrlich gesagt nicht ganz, was ich damit anfangen soll, bzw. wie ich damit auf die Varianz komme.
Tut mir echt leid, dass ich gerade so auf dem Schlauch stehe. Könntest du mir vielleicht nochmal helfen?
Liebe Grüße
Pfandflasche007
|
Profil
|
zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 3957
| Beitrag No.3, eingetragen 2022-07-05
|
\quoteon(2022-07-05 16:44 - Pfandflasche007 in Beitrag No. 2)
wie ich damit auf die Varianz komme.
\quoteoff
Was ich geschrieben habe, begründet das erste "$=$" in deinem Startbeitrag, d.h. die Ersetzung von $Y$ durch $E[Y|X]$ in der Kovarianz.
Unter der von dir genannten Voraussetzung, dass $X$ und $Y$ unabhängig sind, gilt das zweite "$=$" dann trivialerweise mit $\lambda=0$. Ich möchte allerdings bezweifeln, dass diese Voraussetzung stimmt, denn dass die Kovarianz zweier unabhängiger Zufallsvariablen verschwindet, ist ja auch so schon klar.
|
Profil
|
Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-05
|
Vielen Dank, dass du nochmal geantwortet hast. Würde das ganze denn auch bei Abhängigkeit gelten? Dann dürfte man ja nicht mehr so einfach $Y$ durch $E[Y\vert X]$ ersetzen, oder?🤔
|
Profil
|
zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 3957
| Beitrag No.5, eingetragen 2022-07-05
|
\quoteon(2022-07-05 18:45 - Pfandflasche007 in Beitrag No. 4)
Würde das ganze denn auch bei Abhängigkeit gelten? Dann dürfte man ja nicht mehr so einfach $Y$ durch $E[Y\vert X]$ ersetzen, oder?
\quoteoff
Doch, dieser Schritt ist immer möglich.
|
Profil
|
Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-05
|
Okay, vielen Dank nochmal für deine Antwort, das ist wirklich sehr nett.
Kriegt man denn den zweiten Schritt auch ohne die Unabhängigkeit hin, also ohne $\lambda=0$?Bzw. könntest du mir vielleicht sagen, ob es eine Regel für Covarianzen gibt, um diese als Varianz schreiben zu können? ich habe schon danach gesucht, aber leider nicht gefunden.
|
Profil
|
zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 3957
| Beitrag No.7, eingetragen 2022-07-05
|
\quoteon(2022-07-05 19:44 - Pfandflasche007 in Beitrag No. 6)
Kriegt man denn den zweiten Schritt auch ohne die Unabhängigkeit hin, also ohne $\lambda=0$?
\quoteoff
Du musst etwa mehr Kontext liefern. Was ist denn $\lambda$ überhaupt?
Was zu dem Ergebnis führen würde, wäre $E[Y|X]=\lambda X+\mu$. Eine solche Situation läge z.B. vor, wenn du $Y=\lambda X+Z$ setzt, wobei $Z$ unabhängig von $X$ ist.
|
Profil
|
Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-05
|
Vielen Dank nochmal, $\lambda$ soll der Korrelationskoeffizent sein.
|
Profil
|
| Ehemaliges_Mitglied hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. |
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2022 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
