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Mathematik » Stochastik und Statistik » Erwartungswert und Kovarianz
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Universität/Hochschule Erwartungswert und Kovarianz
Ehemaliges_Mitglied
  Themenstart: 2022-07-05

Hey, ich habe folgenden Zusammenhang in einem Buch gefunden: Kann mir vielleicht jemand sagen, wie man hierauf kommt? Ich habe ehrlich gesagt keine Ahnung, wie hier der Zusammenhang zischen Erwartungswert und Kovarianz ist ($X$ und $Y$sind unabhängige ZV). Ich würde mich wirklich sehr über Hilfe freuen. LG Pfandflasche007


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zippy
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-07-05

Die wesentliche Eigenschaft der bedingten Erwartung $E[Y|X]$ ist$$ E\bigl[f(X)\,E[Y|X]\bigr] = E[f(X)\,Y] \;. $$Wende das auf die Definition der Kovarianz$$ \operatorname{cov}(X,Y) = E\bigl[\bigl(X-E[X]\bigr)\bigl(Y-E[Y]\bigr)\bigr] = E\bigl[\bigl(X-E[X]\bigr)\,Y\bigr] - E\bigl[\bigl(X-E[X]\bigr)\,E[Y]\bigr] $$an und und setze einmal $f(X)=1$ und einmal $f(X)=X-E[X]$. \quoteon(2022-07-05 15:40 - Pfandflasche007 im Themenstart) ($X$ und $Y$sind unabhängige ZV). \quoteoff In diesem Spezialfall ist $E[Y|X]=E[Y]$. --zippy


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Ehemaliges_Mitglied
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-05

Hey zippy, vielen lieben Dank für deine Antwort und tut mir leid, dass ich nochmal eine Rückfrage stelle, aber ich habe leider noch nicht so ganz verstanden, wie du das meinst. Wenn ich einmal $f(x)=1$ setzte erhalte ich ja gerade $E[f(X)\,Y] =E[Y]$ und mit $f(x)=X-E[X]$ gerade $E\bigl[\bigl(X-E[X]\bigr)\,Y\bigr]$ und ich weiß ehrlich gesagt nicht ganz, was ich damit anfangen soll, bzw. wie ich damit auf die Varianz komme. Tut mir echt leid, dass ich gerade so auf dem Schlauch stehe. Könntest du mir vielleicht nochmal helfen? Liebe Grüße Pfandflasche007


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zippy
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-07-05

\quoteon(2022-07-05 16:44 - Pfandflasche007 in Beitrag No. 2) wie ich damit auf die Varianz komme. \quoteoff Was ich geschrieben habe, begründet das erste "$=$" in deinem Startbeitrag, d.h. die Ersetzung von $Y$ durch $E[Y|X]$ in der Kovarianz. Unter der von dir genannten Voraussetzung, dass $X$ und $Y$ unabhängig sind, gilt das zweite "$=$" dann trivialerweise mit $\lambda=0$. Ich möchte allerdings bezweifeln, dass diese Voraussetzung stimmt, denn dass die Kovarianz zweier unabhängiger Zufallsvariablen verschwindet, ist ja auch so schon klar.


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Ehemaliges_Mitglied
  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-05

Vielen Dank, dass du nochmal geantwortet hast. Würde das ganze denn auch bei Abhängigkeit gelten? Dann dürfte man ja nicht mehr so einfach $Y$ durch $E[Y\vert X]$ ersetzen, oder?🤔


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zippy
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-07-05

\quoteon(2022-07-05 18:45 - Pfandflasche007 in Beitrag No. 4) Würde das ganze denn auch bei Abhängigkeit gelten? Dann dürfte man ja nicht mehr so einfach $Y$ durch $E[Y\vert X]$ ersetzen, oder? \quoteoff Doch, dieser Schritt ist immer möglich.


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Ehemaliges_Mitglied
  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-05

Okay, vielen Dank nochmal für deine Antwort, das ist wirklich sehr nett. Kriegt man denn den zweiten Schritt auch ohne die Unabhängigkeit hin, also ohne $\lambda=0$?Bzw. könntest du mir vielleicht sagen, ob es eine Regel für Covarianzen gibt, um diese als Varianz schreiben zu können? ich habe schon danach gesucht, aber leider nicht gefunden.


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zippy
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-07-05

\quoteon(2022-07-05 19:44 - Pfandflasche007 in Beitrag No. 6) Kriegt man denn den zweiten Schritt auch ohne die Unabhängigkeit hin, also ohne $\lambda=0$? \quoteoff Du musst etwa mehr Kontext liefern. Was ist denn $\lambda$ überhaupt? Was zu dem Ergebnis führen würde, wäre $E[Y|X]=\lambda X+\mu$. Eine solche Situation läge z.B. vor, wenn du $Y=\lambda X+Z$ setzt, wobei $Z$ unabhängig von $X$ ist.


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Ehemaliges_Mitglied
  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-05

Vielen Dank nochmal, $\lambda$ soll der Korrelationskoeffizent sein.


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