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Mathematik » Topologie » Grenzwerte von Folgen in Kompakta
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Universität/Hochschule J Grenzwerte von Folgen in Kompakta
Lau
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  Themenstart: 2022-09-26

Hallo. Ich habe folgende Aufgabe vor mir und komme damit nicht weiter. Sei X ein topologischer Raum und $(x_{n})$ eine konvergente Folge in X mit $(x_{n}) \rightarrow a$. Y={$(x_{n})$ : $n\in\mathbb{N}$} Zeige: $Y kompakt \Leftrightarrow a\in Y$ Zu $\Leftarrow$: Da a in Y liegt, gibt es zu jeder offenen Überdeckung von Y eine Teilüberdeckung, die a enthält. Da a nach Voraussetzung Grenzwert von $(x_{n})$ ist, enthält jede Umgebung von a alle bis auf endlich viele Folgenglieder. Somit enthält die Teilüberdeckung, die a enthält alle bis auf endlich viele Folgenglieder. Somit gibt es endlich viele Teilüberdeckungen von Y und Y ist kompakt. Für $\Rightarrow$ habe ich noch keinen Ansatz gefunden.


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Wauzi
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-09-26

Hallo, so gefällt mir der Beweis nicht. 1. Es gibt eine offene Menge, die a und damit unendlich viele Folgeglieder enthält. 2. Damit ist aber noch keine endliche Teilüberdeckung gefunden. Wie formuliert man diesen kleinen Rest noch korrekt? Gruß Wauzi


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Lau
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-26

Ok ich versuche es nochmal. Sei $(U_{i})_{i\in I}$ eine offene Überdeckung von Y. Da $a\in Y$ existiert ein $j\in I$ so dass $a\in U_{j}$. Da $U_{j}$ offen ist, ist $U_{j}$ Umgebung von a und enthält, da a Grenzwert von $x_{n}$ ist, alle bis auf endlich viele Folgenglieder von $x_{n}$. Die endlich vielen Folgenglieder von $x_{n}$, welche nicht in $U_{j}$ liegen, liegen in endlich vielen Familienmitgliedern von $(U_{i})_{i\in I}$. Somit gibt es eine endliche Teilüberdeckung von Y und Y ist kompakt. Ist es so richtig? Liebe Grüße


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Wauzi
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-09-26

ja.


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Lau
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-26

Danke! Hast du mir vielleicht einen Ansatz wie ich dir Rückrichtung zeigen kann? LG


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Wauzi
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-09-27

Hallo, folgende Idee: angenommen a ist kein Element der Folge. Dann gibt es zu jedem Folgenglied eine Umgebung, die weder a enthält noch unendlich viele Glieder der Folge. Dies führt wegen der Kompaktheit zum Widerspruch. Warum nicht a in jeder Umgebung enthalten? Dann wäre jede Umgebung des Folgenpunkts auch eine von a, enthielte also unendlich viele Folgenglieder, also wäre dieses Folgenglied auch Grenzwert....... Analog die grundsätzliche Endlichkeit der Folgeglieder in jeder Umgebung. Jetzt konstruiere eine schöne Überdeckung und der Widerspruch ist da. Gruß Wauzi


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