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  Berechnung des bedingten Erwartungswerts E(X|X+Y). |
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Strandkorb
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 17.05.2021
Mitteilungen: 540
 |  Themenstart: 2022-09-26
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Ich weiß, dass $X,Y$ zwei unabhängige Zufallsvariablen sind. Diese Zufallsvariablen haben die Gleichverteilung auf $\{1,\cdots,n\}$ mit $n\geq 2$. Nun betrachte ich $\Bbb{E}(X|X+Y)$. Ich konnte zeigen, dass $\Bbb{E}(X|X+Y)=\frac{1}{6}n(n^2-1)$.
Grob gesagt habe ich das Folgendes gemacht:
$$\Bbb{E}(X|X+Y)=\sum_{k=1}^n \Bbb{E}(X|X=k-Y)1_{X=k-Y}=\sum_{k=1}^n \sum_{z=1}^k \Bbb{E}(X|X=k-z)1_{X=k-Y}$$
Dann bekam ich
$$\Bbb{E}(X|X=k-z)=k-z$$
Nun weiß ich außerdem, dass $\Bbb{E}(X|X+Y)$ messbar ist, d.h. es existiert eine messbare Funktion $g$, so dass $g(X+Y)=\Bbb{E}(X|X+Y)$. Nun würde ich gerne dieses $g$ finden, aber ich sehe nicht, wie. Denn ich habe einen expliziten Ausdruck für $\Bbb{E}(X|X+Y)$, aber nicht in Abhängigkeit von $x,y$.
Kann mir vielleicht jemand helfen?
Vielen Dank schon mal.
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AnnaKath
Senior 
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 3818
Wohnort: hier und dort (s. Beruf)
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-09-27
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Huhu Strandkorb,
schau doch einmal hier.
lg, AK
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luis52
Senior 
Dabei seit: 24.12.2018
Mitteilungen: 1111
 | Beitrag No.2, eingetragen 2022-09-27
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\(\begingroup\)\(%****************************************************************
%************************** Abkuerzungen ************************
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\newcommand{\eps}{\epsilon}
\newcommand{\veps}{\varepsilon}
\)
Moin Strandkorb, ich tue mich schwer, deinen Ueberlegungen zu folgen. Insbesondere die Gleichung $\Bbb{E}(X\mid X+Y)=\frac{1}{6}n(n^2-1)$ ist mir schleierhaft. Ueblicherweise bezeichnet $\Bbb{E}(X\mid X+Y)$ eine Zufallsvariable. In diesem Fall ist es eine Transformation $g(X,Y)$ von $X$ und $Y$. Vllt ist es das, was du suchst.
Betrachte bspw $n=2$. Aus $P(X=1\mid X+Y=2)=1$ folgt $\Bbb{E}(X\mid X+Y=2)=1$, aus $P(X=1\mid X+Y=3)=1/2=P(X=2\mid X+Y=3)$ folgt $\Bbb{E}(X\mid X+Y=3)=1/5$ und aus $P(X=2\mid X+Y=4)=1$ folgt $\Bbb{E}(X\mid X+Y=4)=2$.
Auf diese Weise erhaelt man die Verteilung von $\Bbb{E}(X\mid X+Y)$: $P(\Bbb{E}(X\mid X+Y)=1)=1/4=P(\Bbb{E}(X\mid X+Y)=2)$ und $P(\Bbb{E}(X\mid X+Y)=1.5)=1/2$.
Ich sehe keinen Zusammenhang zu deinem Ergebnis oben.
vg Luis
\(\endgroup\)
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Strandkorb
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 17.05.2021
Mitteilungen: 540
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-27
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Hallo
Ja ich habe meinen Fehler gefunden und bin dann auch auf $g(k)=\frac{k}{2}$ gekommen oder eben $g(X+Y)=\frac{X+Y}{2}$.
Trotzdem vielen Dank für die Hilfe
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